Summe aller Drehmomente 0, aber um welchen Punkt?
Hallo,
ich habe hier irgendwo einen Denkfehler - wäre toll wenn mich jemand korrigieren könnte:
Ich möchte die Gewichtsverteilung beim Fahrrad betrachten. Es wirken folgende Kräfte: Gewichtskraft im Schwerpunkt (Schwerpunkthöhe y, horizontaler Abstand zum Berührungspunkt vom Hinterrad mit dem Boden sei x), Normalkräfte Fv und Fn bei den Auflagepunkten der Räder (Radabstand l) mit dem Boden und dort die Rollreibungskräfte Fnµr und Fvµr. Ich habe jetzt das Problem, dass ich zwei verschiedene Zugänge bei den Drehmomenten habe:
1. Summe aller Momente um den Punkt mit l/2 und y/2 Abstand vom Berührungspunkt des Hinterrades mit dem Boden.
2. Summe aller Momente um den Schwerpunkt.
Komischerweise bekomme ich für die Gewichtsverteilung (also die Normalkräfte) verschiedene Ergebnisse wenn ich einmal 1 und einmal 2 verwende. Wo liegt der Fehler? Liegt es vielleicht daran, dass beim Schwerpunkt die Gewichtskraft kein Moment ausübt und ich diesen deshalb garnicht verwenden dürfte?
Danke und LG
In der Skizze habe ich das nochmal aufgezeigt. Variante 1 betrachtet die Momente um SP, Variante 2 um den Punkt P, der bei y/2 und l/2 liegt.
6 Antworten
1)
Fh + Fv + Fg = 0 (1)
Fv(l - x) - Fh * x = 0
Fh = Fv((l-x)/x = Fv(l/x - 1) (2)
(2) in (1):
Fv(l/x - 1) + Fv = - Fg
Fv (l/x -1 + 1) = -Fg
Fv = -Fg * x/l (3)
(3) in (1)
Fh - Fg * x/l + Fg = 0
Fh = Fg * x/l - Fg
Fh = Fg ( x/l - 1)
2) Überlagerung mit Fr:
-μFh * y - μFv * y - Fhr * x + Fvr * (l - x) = 0
Fvr * (l - x) = Fhr * x + μ*y(Fh + Fv) (5)
Fhr + Fvr = 0
Fhr = - Fvr
eingesetzt in (5)
Fvr * (l - x) = Fhr * x + μ*y(Fh + Fv)
Fvr * (l - x) = - Fvr * x + μ*y(Fh + Fv)
Fvr * (l - x) + Fvr * x = μ*y(Fh + Fv)
Fvr (l - x +x) = μ*y (Fg ( x/l - 1) -Fg * x/l
Fvr * l = μ*y * Fg(x/l - 1 - x/l)
Fvr = - μ * y/l * Fg
Fhr = μ * y/l * Fg
3) Überagerung:
Fhges = Fh + Fhr = Fg ( x/l - 1) + μ * y/l * Fg = Fg (x/l + μ * y/l -1)
Fvges = Fv + Fvr = -Fg * x/l - μ * y/l * Fg = - Fg (x/l + μ * y/l)
Das entspricht deiner Variante 1
So, nun hoffe ich, dass ich weder einen Denk- noch Umformfehler gemacht habe. Also bitte überprüfen. Sieht aber im Ergebnis auf den ersten Blick fast plausibel aus.
Noch besser würde mir gefallen, wenn es einmal x/l + μ * y/l und einmal x/l - μ * y/l
lauten würde. Ist da irgendwo ein Vorzeichenfehler?
Gleichgewichtsbedingungen bei solchen Aufgaben sind immer:
1) Sie Summe aller Kräfte in eine Richtung ist zu jedem Zeitpunkt gkeich NULL.
2) Die Summe aller Momente um einen beliebigen Punkt ist zu jedem Zeitpunkt gleich NULL.
Man geht wie folgt vor:
1) eine Zeichnung machen mit einem x-y-Koordinatensystem und die Festlegung welche Drehrichtung positiv ist.
2) nun die Kräfte und Drehmomente antragen,mit der richtigen Wirkrichtung.
Hinweis:Den Drehpunkt legt man geschickt so,daß möglichst viele Kräfte wegfallen
Außerdem muß man das Prinzip Loslager und Festlager berücksichtigen.
Das Loslager nimmt nur Kräfte in eine Richtung auf.
Das Festlager nimmt Kräfte in x-Richtung und y-Richtung auf
Wenn keine Loslager-Festlager angegeben sind,dann handelt es sich um ein statisch unbestimmtes System und kann so einfach nicht gelöst werden.
Bei deiner Aufgabe wirken nur Kräfte in y-Richtung
Aus die Summe aller Kräfte in eine Richtung ist zu jedem Zeitpunkt gleich NULL
1) Fh+Fv-Fg=0 index h=Hinterrad und index v=Vorderrad
nun wählen wird geschickt den Drehpunkt bei´m Hinterrad
Summe aller Momente an der Aufstandsfläche vom Hinterad
2) MFg-MFv=0 MFg=Fg*x ist das Drehmoment durch die Gewichtskraft
MFv=Fv*l ist das Drehmoment durch die Vorderradkarft (negativ)
mit 2) MFg=MFv
Fg*x=Fv*l
Fv=Fg*x/l
mit 1) Fh=Fg-Fv
Hinweis:Deine Auflagerreaktionen am Vorderrad und am Hinterrad sind so mathematisch nicht lösbar,wegen keine Loslager-Festlager-Anordnung
In einer gesonderten Rechnung kann man dann die Bremskraft vom Vorderrad und Hinterrad ausrechnen
Bremskraft Vorderrad: Fbv=μ*Fv
Bremskraft Hinterrad: Fbh= μ*Fh
Hier geht es ja nur um die Ermittlung der Kräfte am Hinterrad und am Vorderrad.
Bei einer Bremsung ergibt sich dann die Bremskraft aus den beiden bremskräften am Hinterrad und am Vorderrad
Fb=Fbh+Fbv
Bewegt sich nun das Fahrrad und soll abgebremst werden,dann muß man die Trägheitskraft berücksichtigen
Die Summe aller Kräfte in eine Richtung ist zu jedem Zeipunkt gleich NULL.
ein x-y-Koordinatensystem zeichnen mit der Masse des Fahrrades und den beiden Kräften
Fb=Bremskraft wirkt entgegen der Bewegungsrichtung
F=m*a Trägheitskraft wirkt in Bewegungsrichtung
1) F-Fb=0
F=Fb
m*a=Fb
a=Fb/m
Merke:Eine Masse m verharrt in ihrem Bewegungszustand,solange keine äußere Kraft auf sie einwirkt.Wirkt eine äußere Kraft auf die Masse m ein ,so reagiert diese mit einer "gleich großen Gegenkraft F=m*a (Trägheitskraft).
lass Beschleunigung mal außen vor. Du hast die Reibungskräfte einfach falsch angenommen.
ich verstehe das nicht. Was ist daran falsch? Die Rollreibungskräfte wirken nunmal dort unten oder nicht?
Du mußt immer bei solchen Aufgaben das "Ersatzsystem" zeichnen,mit den Kräften,die an der Masse m angreifen
Du kannst den Drehpunkt beliebig festlegen, musst aber immer alle Kräfte mit dem entsprechenden Hebelarm berücksichtigen.
Wenn du den Drehpunkt im Schwerpunkt wählst, kann die Gewichtskraft bei den Momenten unberücksichtigt bleiben, da der Hebelarm dann 0 ist. Legst du den Drehpunkt jedoch woanders hin, musst du auch die Gewichtskraft mit ihrem nun vorhandenen Hebelarm berücksichtigen.
Hi, danke für deine Antwort. Hier liegt aber mein Problem. Ich bekomme dann verschiedene Ergebnisse für die Normalkräfte. Liegt es womöglich daran, dass das hier eigentlich kein statisches sondern ein dynamisches Gleichgewicht ist? Das Fahrrad verzögert ja wegen der Rollreibungskraft. Müsste ich hier eine (bezugssystembezogene) Trägheitskraft als Scheinkraft berücksichtigen?
Es gilt nicht nur das Momentengleichgewicht, sondern auch das Kräftegleichgewicht in y-Richtung und auch das im Stand, wenn gar keine Widerstandskräfte auftreten. Wäre das nicht der Fall, würde das Rad abheben oder im Boden verschwinden. Daraus kannst du die Normalkräfte ausrechnen, die durch das Eigengewicht entstehen. Du hast 2 Bedingungen, Momentengleichgewicht und Kräftegleichgewicht und kannst damit die beiden Unbekannten Fn_vorne und Fn_hinten ausrechnen.
Nun kannst du hergehen, und diesem Grundzustand das Moment überlagern, das durch die Widerstandskräfte entsteht. Das entsprechende Moment wird dann entsprechend der Hebel zum Schwerpunkt auf Vorder- und Hinterrad verteilt, wobei auch hier gilt, dass die Summme der Kräfte in y-Richtung wieder 0 sein muss. Erneut hast du zwei Unbekannnte und 2 Gleichungen und das lässt sich lösen.
korrigiere mich wenn ich falsch liege, aber das habe ich (siehe Skizze) genau so gemacht oder?
Es kann nur eine Lösung geben. Also hast du irgendwo was falsch gemacht. In der Wahl des Bezugspunkts für die Momente hat man große Freiheit. Das sollte nichts ausmachen.
Ohne ein Bild zu sehen, kann man das nicht beantworten.
Liegt es daran, dass ich keine Trägheitskraft berücksichtige? Soweit habe ich nur die Bedingungen Fn+Fv=Fg verwendet und die Summe aller Momente (mit den 2 Normalkräften Fn, Fv, den zwei Rollreibungskräften und der Gewichtskraft)
woher soll man das wissen? Wir kennen die Aufgabe nicht!!!
Es gibt keine Aufgabe. Es ist nur eine Überlegung. Ich stelle Formeln für Fv und Fn auf. Womöglich darf ich die Summe der Momente nur betrachten, wenn ich kein beschleunigtes Bezugssystem verwende (Was hier ja der Fall ist)?
Du hast einen Rechenfehler oder Ansatzfehler drin. Zeig die Rechnung her - dann kann man drüber reden. So nicht.
gibt's eine Möglichkeit Bilder einzufügen? Latex Code kann man hier ja nicht schreiben ...
wär toll wenn du dir die Skizze und den Ansatz ansehen könntest. Die Rechnung ist richtig.
ich schau's mir später an, wenn sich sonst niemand findet. Sitze in Besprechung.
Natürlch passt das Kräftegleichgewicht nicht, sobald du die Reibkraft so wie du hinzunimmst. Was ist die Gegenkraft? Du hast die Reibung einfach falsch angesetzt.
wie sollte ich das deiner Meinung nach ansetzen, wenn ich die Reibungskräfte berücksichtigen will?
lies mal das; dann sollte ein Licht aufgehen ;-)
https://www.concepts-of-physics.com/mechanics/direction-of-frictional-force-on-bicycle-wheels.php
Danke. Aber leider noch kein Licht :( Meinen Annahmen nach wird ja nicht pedaliert. Dann geht die hintere Reibungskraft ja nach "rechts", wie von mir eingezeichnet.
Sorry, ich hab das gerade geschickt...du willst nach 2 Minuten sagen, dass du alles mögliche getan hast, um diesen Artikel zu verstehen? Das steht ja alles drin ;-)
https://www.physikerboard.de/topic,23199,-richtung-der-reibkraft-bei-einem-rollenden-zylinder.html
das kannst auch was holen ...
Ich habe ihn durchgelesen. Der Artikel sagt ja, dass die Reibungskraft nach rechts eingezeichnet wird, falls ein Antrieb vorhanden ist und nach links, wenn dem nicht so ist. Da bei meinem Beispiel nicht angetrieben wird, sind die Reibungskräfte aber richtig eingezeichnet.
>Meinen Annahmen nach wird ja nicht pedaliert.
dann zeign die Reibungen beide nach hinten, aber das Rad beschleunigt:
m*a = (Fr1+Fr2)
Das ist eine weitere Bedingung.
Aber nochmal: du bringst hier verschiedene Arten von reibung komplett durcheinander.
ja, aber dann wird das Rad beschleunigt. Und das hast du nicht berücksichtigt.
genau mein Punkt: das Rad (bzw. das Fahrrad beschleunigt). Dementsprechend muss, wenn ich Gleichgewichtsbedingungen in der Form (Summe aller F,M) verwenden will, eine Scheinkraft wirken, die vom Betrag her (nicht vektoriell) den Reibungskräften gleicht. Ist es das, was du meinst? Die Scheinkraft brauche ich ja, da ich mich in einem beschleunigten Bezugssystem befinde (zumindest sagt das mein Physik-Studium)
Welche Reibungsarten meinst du?
die Haftreibung (wenn wir mal den Schlupf des Reifens ignorieren) tritt ja nur beim Bremsen auf oder - also wenn die Winkelgeschwindigkeit des Reifens verlangsamt wird und so Reibung entsteht - zwischen Boden und Gummi
Nein, die tritt auch dann auf, wenn du ein Rad beschleunigst. Denn sonst ging das nicht. Es gilt:
|Fh| ≤ µ*Fn
Beachte das Ungleichheitszeichen!
Diese Reibung wirkt aber nicht bremsend - im Gegensatz zur Gleit- oder Rollreibung.
Okay, ist nachvollziehbar. Also du meinst, dass auch beim "bloßen" Rollen des Rades zusätzlich zur Rollreibung auch Haftreibung wirkt und diese noch berücksichtigt werden muss?
Ja, so in etwa: Ideales Rad ohne Schlupf: Rollen mit Beschleunigung geht nur, wenn Haftreibung vorhanden ist. Sobald die Beschleunigung zu Ende ist, wird die Haftreibung wieder Null.
Diese Beschleunigung von der wir da sprechen ist ja das Abbremsen durch die Rollreibung oder? Wie wäre es denn günstig das zu modellieren? Wie groß diese zusätzliche Haftreibungskraft ist kann man ja nicht bestimmen oder? Und dadurch würde sich die Beschleunigung ja erst wieder ändern?
Die Rollreibung ist immer µ(roll)*Fn, die Haftreibung kommt dazu, wenn ein rollender Körper beschleunigt: |Fh| ≤ µ(haft)*Fn. Ein antriebsloses Rad mit Haftreibungskoeffizuienten µ(haft) > 0 und µ(roll) = 0 wird nicht gebremst - es gilt ja die Ungleichung.
Stell dir unter Haftreibung vor, dass ein Zahnrad auf einer idealen Zahnstange abrollt. Hier gibt es keinen Schlupf, die Haftreibung ist quasi unendlich, die Rollreibung aber Null.
Ich verstehe. Wenn ich also sage, dass die Rollreibung wirkt, dann muss das Fahrrad verzögern. Das kann ich dann durch die Trägheitskraft (im Schwerpunkt angreifend) beschreiben, sodass sich das mit meinem Kräfte- und Momentengleichgewicht ausgeht. Dabei (man zeichnet keine zusätzliche Kraft oder sonstiges) muss aber Haftreibung wirken, da das Fahrrad verzögert. Und was beim Bremsen passiert ist nicht zwangsweise die Haftreibung, sondern ein Reibungseffekt, der durch die Haftreibung nach oben beschränkt ist, da die Haftreibung die "stärkste" Reibung ist. Passt das?
nein jetzt bin ich doch verwirrt - muss ich in meinem Kräftegleichgewicht nachdem ich die Trägheitskraft noch einzeichne, außerdem eine Haftreibungskraft einzeichnen?
Ja, sicher. Die Rollreibungen sind ja konstant auf beiden Rädern und nach hinten gerichtet. Am Antriebsrad hast du bei Beschleunigung nach vorn aber eine Haftreibung die nach vorne gerichtet ist: Der Reifen stößt sich ja quasi nach hinten ab -und gemäß Actio=Reactio ist die Haftkraft nach vorne gerichtet.
Die Beschleunigung ist ja nur "schein", also nicht real - sie kompensiert das Bezugssystem. Oder? bzw: Die Trägheitskraft wirkt ja dann schon nach vorne, um das Kräftegleichgewicht in "x-Richtung" herzustellen...
Angenommen ich müsste, das einzeichnen - dann ist diese Kraft ja unbekannt und ich kann wieder keine Normalkräfte bestimmen ?
um nochmal klarzustellen: das Hinterrad wird nicht angetrieben, niemand tritt in die Pedale...
Die Trägheitskraft kannst du dir als im Schwerpunkt angreifend vorstellen. Beschleunigst du nach vorne mit a, wirkt die Trägheitskraft nach hinten. Damit ist die Summe aller Kräfte wieder Null und alles gut. Das System von Gleichungen lässt sich dann nach Fh, Fv und a auflösen. Jetzt sollte es vom Bezugspunkt nicht mehr abhängen. Mach die Rechnung neu!
>um nochmal klarzustellen: das Hinterrad wird nicht angetrieben, niemand tritt in die Pedale...
macht ja nichts, aber es kommt in deiner Rechnung eine Zusätzliche Kraft in x-Richtung dazu, die du vorher nicht berücksichtigt hast.
okay, aber was mache ich mit den Haftreibungskräften, die ja dann noch einzuzeichnen sind? Neben den 2 Rollreibungskräften, den 2 Normalkräften, der Gewichtskraft und der Trägheitskraft?
inzwischen Danke ich dir für deine Ausdauer :D
Haftreibung hast du ja keine, solange du nicht in die Pedale trittst. Du machst alles wie vorher, hast aber bloß eine zuätzliche Horizontalkraft im Schwerpunkt. Daher gehe ich jetzt davon aus, dass deiene Variante 1 stimmt (wenn S Bezugspunkt ist, ist es ja egal ob da eien Horizontalkraft angreift), und bei Berücksichtigung der Trägheitskraft bei Variante 2 das selbe rauskommt.
Achso, ich dachte die kommen noch dazu (weil das Fahrrad ja verzögert?) Wo war der Denkfehler jetzt?
Vielen Dank! Ich finde jetzt (hoffentlich) selbst zum Ziel :D
Verzögert wird es aufgrund der Rollreibung. Dies erzeut Wärme. Haftreibung ist nicht dissipativ und kann daher auch niucht verzögern.
Rechne (2) neu mit der zusätzlichen horizontalen Kraft μG in S. Da muss das selbe rauskommen wie bei (1)
>Wo war der Denkfehler jetzt?
Die Kräftebilanz hat nicht gestimmt.
Und ich dachte, das Rad rollt ohne Beschleunigung. Deshalb die Irritation mit Haftreibung...
>Rechne (2) neu mit der zusätzlichen horizontalen Kraft μG (nach vorne) in S. Da muss das selbe rauskommen wie bei (1)
wenn nicht würde es mich schwer wundern.
Den Drehpunkt legt man geschickt so,dass sich viel Kräfte aufheben.
Hier am Hinterrad (Kontaktpunkt mit dem Boden) oder am Vorderrad (Kontaktpunkt mit dem Boden)
Vielen Dank für deine Antwort. Stimmt es denn wirklich, dass die Radlasten unabhängig von der Rollreibungskraft sind? Die Bedingungen hier sind ja statische Gleichgewichtsbedingungen - jedoch verzögert das Fahrrad ja. Braucht man eine Scheinkraft, um vom beschleunigten ins unbeschleunigte Bezugssystem wechseln zu können?