Stochastische Unabhängigkeit?

Lösung:

Müsste es nicht in der Aufgabenstellung heißen, …. dass Ereignis A und DAS GEGENEREIGNIS B (und nicht das Ereignis B) unabhängig sein sollen?

Denn sonst hätte man doch 2 Unbekannte?

Danke!

Answer 1

[mihisu]

Die Ereignisse A und B sind genau dann stochastisch unabhängig, wenn das Ereignis A und das Gegenereignis zu B stochastisch unabhängig sind. Daher ist das kein Problem.

Beweis:

============

Ansonsten könnte man die Lösung natürlich auch entsprechend mit Zwischenschritten erweitern, dass sie sich direkter auf die Unabhängigkeit von A und B, statt auf die Unabhängigkeit von A und dem Gegenereignis zu B, bezieht.

Beispielsweise folgendermaßen:

$P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=P(A)-P(A)\cdot P(B)=P(A)\cdot (1-P(B))=P(A)\cdot P(\overline{B})$

... Und dann weiter wie in der Lösung.

Comments

[Sarahmoro]

ABER in der Aufgabenstellung müsste es doch heißen, dass A und GEGENEREIGNIS B unabhängig sein sollen (erstes Bild)? Oder

Ich würde mich sehr auf eine Antwort freuen!

[mihisu]

@Sarahmoro

Wie bereits geschrieben: Es ist eigentlich egal, ob man möchte, dass A und B unabhängig sein sollen, oder ob man möchte, dass A und das Gegenereignis zu B unabhängig sein sollen. Das ist äuqivalent zu einander, es macht keinen Unterschied.

Und wenn überhaupt: Dann würde ich doch eher sagen, dass die Lösung nicht optimal ist, wenn man nicht erkennt, wie diese mit der Aufgabenstellung zu tun hat, anstatt dass man die Aufgabenstellung kritisiert.

[Sarahmoro]

@mihisu

Wenn es in der Aufgabe heißt:

Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig.

Heißt es dann automatisch, dass das Ereignis A, das Gegenereignis A, Ereignis B und das Gegenereignis B stochastisch unabhängig sind?

Ich würde Nein sagen, da Ereignis und Gegenereignis doch nicht äquivalent zueinander sein können???

Ich würde mich auf eine Antwort sehr freuen!

[mihisu]

@Sarahmoro

Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig.

Heißt es dann automatisch, dass das Ereignis A, das Gegenereignis A, Ereignis B und das Gegenereignis B stochastisch unabhängig sind?

Nein, ein Ereignis A ist niemals stochastisch unabhängig zum Gegenereignis von A.

Was man sagen kann, ist, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind...

• Das Ereignis A und das Ereignis B sind stochastisch unabhängig.
• Das Ereignis A und das Gegenereignis zu B sind stochastisch unabhängig.
• Das Gegenereignis zu A und das Ereignis B sind stochastisch unabhängig.
• Das Gegenereignis zu A und das Gegenereignis zu B sind stochastisch unabhängig.

Das ist aber etwas ganz anderes, als zu behaupten die vier Ereignisse (Ereignis A, Gegenereignis zu A, Ereignis B, Gegenereignis zu B) seien insgesamt stochastisch unabhängig voneinander.

[Sarahmoro]

@mihisu

Danke!!!

Answer 2

[eterneladam]

Du kannst ja nachrechnen, dass mit den berechneten x und y die Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind.

Es gilt allgemein

A = AnB u AnB^c, also

P(A) = P(AnB) + P(AnB^c) und daher

P(AnB) = P(A) - P(AnB^c) = P(A) - P(A)P(B^c) = P(A) ( 1-P(B^c) ) = P(A) P(B) wenn A und B^c stochastisch unabhängig, d.h. es folgt dann auch die Unabhängigkeit von A und B.

Comments

[Sarahmoro]

Danke. Ja, es stimmt.

Aber in der Aufgabenstellung müsste es doch heißen, dass A und Gegenereignis B unabhängig (und nicht das Ereignis B) sein sollen?