Schwere Knobelaufgabe?
Kann jemand bitte diese Gleichung lösen?
Ich habe bereits b=8, aber gibt es noch andere Lösungen?
Danke!!!
4 Antworten
330 zur Basis b: 3*b² + 3*b + 0 = 3b*(b+1)
44 zur Basis b: 4*b + 4 = 4*(b+1)
Es soll gelten:
(3b)²*(b+1)² = 4³*(b + 1)³
Erste Lösung b = -1, dann werden beiden Seiten Null. Nun kann man beide Seiten mit (b+1)² kürzen.
9b² = 64*(b + 1)
das ergibt die quadratische Gleichung:
9b² - 64*b - 64 = 0
Lösung b1 = 8, b2 = -8/9
Somit bleibt nur b = 8
Ja ist richtig, und eine elegantere Lösung als meine. Ich habe deshalb Deine Lösung in die Antwort übernommen. Vor dem Kürzen mit (b+1)² fällt noch die dritte Lösung b = -1 an.
Diese Aufgabe ist ja echt übel. (oder ich habe einen Trick übersehen)
Die Aufgabe kann man auch als
(3b² + 3b + 0)² = (4b + 4)³
Das alles ausmultiplizieren bringt
9b^4 - 46b³ - 183b² - 192b - 64 = 0
Pfui! Eine Gleichung vierten Grades.
Wir probieren die Teiler des absoluten Glieds aus. Teiler von 64 sind -64, -32, -16, -8, -4, -2, -1, +1, +2, +4, +8, +16, +32 und +64.
Mit einigem anstrengenden Rechnen sieht man, dass -1 und 8 Lösungen sind.
Polynomdivision:
(9b^4 - 46b³ - 183b² - 192b - 64) / (b + 1) / (b - 8)
(9b^4 - 46b³ - 183b² - 192b - 64) / (b² - 7b - 8)
Das geht sogar auf und ist 9b² + 17b + 8.
9b² + 17b + 8 = 0
Lösungen sind -1 und -8/9. (-1 ist Doppellösung)
Da -1 und -8/9 keine sinnvollen Werte für b sind, bleibt nur noch b = 8 als einzige Lösung.
Tut mir leid, mir ist kein besserer Lösungsweg eingefallen. Deshalb hatte ich die Standard-Brutal-Methode rausgeholt.
Hi, ich hab's so gelöst:
330_b = 3b²+3b = 3b(b+1) [*]
44_b = 4b+4=4(b+1) [*]
Also (3b)²•(b+1)² =4³(b+1)³ |:(b+1)²
9b²=64(b+1)
9b²-64b-64=0
9b²-72b+8b-64=0
9b(b-8)+8(b-8)=0
(9b+8)(b-8)=0
b=8 [oder b=-8/9 <-- entfällt]
Ist das richtig?
Ja.
Du hast durch (b + 1)^2 dividiert und damit die Doppellösung b = -1 entfernt. (b kann nicht -1 werden.)
Damit kommst Du vom vierten auf den zweiten Grad. (ohne Lösungen zu erraten und Polynomdivision)
Deine Lösung ist deutlich besser als meine.
War wohl nicht mein Tag heute 😉.
Nicht nur richtig, sondern elegant. Man kann dann auch beim Schritt 9b²=64(b+1) sofort sehen, dass b=8 sein muss (Primfaktorzerlegung).
Ich glaube nicht, daß es außer b=8 noch eine weitere Lösung gibt. Denn beim Auswerten von (3b²+3b)²=(4b+4)³ kommt man zur Gleichung 9b⁴−46b³−183b²−192b−64=0, und diese Gleichung hat nur eine positive ganzzahlige Lösung b=8. Denn man kann das Polynom faktorisieren (Polynomdivision) und dann den kubischen Term kleinprügeln, notfalls mit der Cardanoschen Gleichung oder mit Raten:
9b⁴−46b³−183b²−192b−64 = (b−8)⋅(9b³+26b²+25b+8) = (b−8)⋅(b+1)²⋅(9b+8)
Also haben wir eine Doppellösung für b=−1 und eine weitere b=−⁸/₉. Beides sind keine vernünftigen Basen für Zahlensysteme.
Ich habe bereits b=8, aber gibt es noch andere Lösungen?
Nein, gibt es nicht.
Nein, auch nicht über 32. Schau Dir einfach die Differenz zwischen der linken und rechten Gleichungsseite an. Das ist die ganz rechte Spalte. Die Differenz ist eine monoton steigende Folge und es gibt keinen Hinweis, dass diese Differenz wieder kleiner werden könnte. Du musst auch bedenken, dass ein Zahlensystem mit der Basis 32 schon recht skurril wäre. Die Zählung hatte das Format "0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, .., R, S, T, U, V, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 1A, 1B, ..". Du müsstes dann auch einen Symbolvorrat für 32 Ziffern anbieten.
Hi, ich hab's so gelöst:
330_b = 3b²+3b = 3b(b+1) [*]
44_b = 4b+4=4(b+1) [*]
Also (3b)²•(b+1)² =4³(b+1)³ |:(b+1)²
9b²=64(b+1)
9b²-64b-64=0
9b²-72b+8b-64=0
9b(b-8)+8(b-8)=0
(9b+8)(b-8)=0
b=8 [oder b=-8/9 <-- entfällt]
Ist das richtig?