Schnittgerade berechnen zweier Ebenen?
Hey habe jetzt 2 Ebenen:
I : 2x + y - 2z = 14 II: 4x + 3y - 2z = 14
Wieso kann ich beide Ebenen nicht sofort verrechnen, also I - II (damit wir kein z mehr haben)? Bei 2 * I - II kommt die richtige Lösung raus.
1 Antwort
Ausnahmsweise kann ich mal den Weg von ellejolka nicht nachvollziehen. Zudem kommt tatsächlich eine andere Gerade heraus als bei Dir.
Wenn Du I-II rechnest, erhältst Du: -2x - 2y = 0 <=> -2y = 2x <=> -y = x
Wichtig ist, dass Du für die nun herausgefallene Variable z KEINE Zahl einsetzt. Das leuchtet vielleicht schnell ein, da Deine Geradengleichung ja auch einen Parameter enthalen muss.
Zuvor aber noch zurück zu z.B. I: Einsetzen von x = -y ergibt:
-2y + y - 2z = 14 <=> -2z - 14 = y
Nun setze ich aus den Lösungen (aus formalen Grüünden setze ich mal z = t) meinen Lösungsvektor zusammen:
x 14 + 2t 14 2
y = -14 - 2t = -14 + t · -2
z t 0 1
(Die Klammern um die Vektoren musst Du Dir selber denken :-) )
Da kommt doch sogar glatt dieselbe Lösung heraus.
Prinzipiell ist es beim Additionsverfahren relativ egal, wie Du vorgehst. Du müsstest automatisch zu einer Geradengleichung gelangen, die dieselbe Gerade beschreibt: die RVen müssen kollinear sein (das sieht man schnell); da es aber unendlich viele Punkte auf einer Geraden gibt, sieht man nicht so schnell, ob der eine Punkt, den man heraus bekommt, auch auf der "anderen" Geraden liegt.
So hätte z.B. auch herauskommen können:
x -13 -10
y = 13 + t · 10
z -13,5 -5
Klar soweit?
deinen weg verstehe ich aber nicht die lösung die rauskommt.
es müsste doch pro reihe jeweils ein t stehen, damit wir die geradengleichung aufstellen können oder nicht?