Rotverschiebung berechnen?
Ich hätte gerne Hilfe bei folgender Aufgabe:
Astronomen haben ein Signal einer außerirdischen Zivilisation mit einer Rotverschiebung von z entdeckt. Die Regierungsvertreter der Erde planen eine Antwort zu senden. Die Frage ist, wie groß die maximale Rotverschiebung sein darf, damit die Außerirdischen die Antwort jemals erhalten können, unter der Annahme einer konstanten Hubble-Rate H für die Expansion des Universums.
Meiner Meinung nach müsste man die Formel z = H mal d aber weiter gehe ich nicht. Könnte mir jemand dabei helfen?
2 Antworten
Hallo siumsium,
Ja, du bist auf dem richtigen Weg. Die Rotverschiebung z eines Signals hängt tatsächlich von der Hubble-Konstante H und der Entfernung d zwischen uns und der Quelle des Signals ab. Die Beziehung zwischen Rotverschiebung und Entfernung wird durch das sogenannte Hubble-Gesetz beschrieben:
z = H * d
Um die maximale Rotverschiebung zu bestimmen, unter der die Außerirdischen die Antwort erhalten können, müssen wir die Entfernung d maximieren, damit z klein bleibt. Wenn die Entfernung zwischen uns und den Außerirdischen maximal ist, ist die Rotverschiebung minimal.
Die Frage ist nun, wie weit die Außerirdischen von uns entfernt sein können, damit wir sicher sein können, dass unsere Antwort sie erreicht. Da die Lichtgeschwindigkeit endlich ist, gibt es eine maximale Entfernung, die das Licht in einem bestimmten Zeitraum zurücklegen kann. Diese Entfernung wird durch das Alter des Universums bestimmt, multipliziert mit der Lichtgeschwindigkeit.
Die Formel für die maximale Entfernung d(max) lautet:
d(max) = c * t
Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit und t das Alter des Universums.
Nun können wir die maximale Rotverschiebung z berechnen, indem wir die maximale Entfernung d(max) in das Hubble-Gesetz einsetzen:
z(max) = H * d(max)
[also: z(max) = H * (c * t)].
Ich hoffe, dass ich weiterhelfen konnte.
Mit freundlichen Grüßen,
Marcel
(keine garantie auf korrektheit, ich habe es jetzt nicht mehrfach überprüft)
rechnen wir zuerst aus wie weit die galaxie entfernt ist. die FLRW metrik lautet
ds² = -dt² + a(t)²dx²
für einen lichtstrahl auf einer 0 geodäte gilt ds=0, und somit
dx = +- dt/a(t)
der lichtstrahl des signals der aliens wurde ausgesandt zum zeitpunkt t und comoving distance x, und erreicht uns heute bei t0 und x=0. also
nehmen wir nun die kosmologische rotverschiebung für ein signal dass zum zeitpunkt t ausgesandt wurde und zum zeitpunkt t0 empfangen wurde.
1+z=a(t0)/a(t)
beide seiten nach t ableiten ergibt
eingesetzt die definition des Hubble parameters H(t)=a'(t)/a(t) und umgeformt ergibt
dt = - dz a(t) / (a(t0)*H(t))
eingesetzt in unser integral oben, und beide seiten mit a(t0) multipliziert um mit d=a(t0)*x auf die poper distance zu kommen, haben wir also die entfernung d der galaxie gefunden als
jetzt müssen wir noch rausfinden wie groß d sein darf damit unsere antwort jemals ankommt. wir rechnen also aus welche entfernung ein heute von uns ausgesandtes singal zurück legt wenn wir ihm unendlich viel zeit geben (also t->unendlich, gleichbedeutend mit z->unendlich)
wir senden also bei t0 und x=0 ein signal aus, und es soll bei t->unendlich und x ankommen.
drücken wir es wieder durch die rotverschiebung aus, aber diesmal für ein signal ausgesandt bei t0 und empfangen bei t, also
1+z=a(t)/a(t0)
und somit
also
dt = dz a(t0) / ( a(t)*H(t) )
wieder oben einsetzen und beide seiten mit a(t0) multiplizieren (rotverschiebung bei t0 ist 0, und für t->unendlich geht z->unendlich)
und die skalenfaktoren wieder durch die rotverschiebung selbst ausgedrückt
unsere beiden resultate für d gleichsetzen, dann haben wir die allgemeine lösung.
die allgemeine lösung auf die frage und hängt von der exakten zeitentwicklung des Hubble parameters H ab, und wird für realistische kosmologische modelle auch nicht immer analytisch lösbar sein.
glücklicherweise steht in der angabe aber dass wir von einer exponentiell beschleunigten expansions ausgehen soll, für die gilt H=const. damit kürzt sich H auf beiden seiten der gleichung raus und wir haben, wenn wir die integral einfach lösen
z_max = 1
(sorry, musste ein paar formeln als text schreiben, sonst wird die antwort irgendwie nicht akzeptiert)
einfach nachfragen wenn was unklar ist.
Hallo Marplex, ein paar kleine hinweise.
man sollte vielleicht darauf hinweise dass diese formel nicht allgmeine exakt gültig ist, sondern wirklich nur für den hier betrachteten spezialfall einer exponentiell beschleunigten expansion, wo H konstant ist. ansonsten ist das nur eine näherung welche nur für kleine (im kosmologischen sinn) distanzen gültig ist. für die gleiche aufgabenstellung für jede beliebige andere annahme als die (unrealstische) H=const könnte man nicht mehr so rechnen.
nein, das ergibt keinen sinn.
dafür wie weit das von uns heute ausgesandte signal in der zukunft kommt ist es komplett egal wie alt das universum bereits ist. wir sprechen hier ja nicht von einem signal aus der vergangenheit, sondern von einem signal in die zukunft.
und selbst dann wäre die rechnung lichtgeschwindigkeit mal verstrichener zeit nicht korrekt, weil du dann nämlich die expansion außer acht lässt.