Ring (Algebra): MÜSSEN die beiden Verknüpfungen Multiplikation und Addition sein oder gehen auch andere beliebige Verknüpfungen?
Danke schonmal :)
4 Antworten
Man schreibt meistens + und *, weil das die "gewöhnlichsten" Operationen sind (manchmal auch o als Verkettungssymbol)
Es sind alle Verknüpfungen erlaubt, die die Ringaxiome erfüllen. Das plus und Malzeichen steht nicht (nur) für die gewöhnliche Addition und Multiplikation.
Ein Ring muss mit der + Verknüfung eine abelsche Gruppe bilden und mit der * Verknüpfung eine Halbgruppe bilden. Zusätzlich müssen die Distributivgesetze a*(b+c) = ... erfüllt sein.
Es müssen also verschiedene Bedingungen erfüllt sein. Ein additives Inverses ist eine Bedingung der abelschen Gruppe, ein neutrales Element gehört dazu (dies wird normalerweise mit 0 bezeichnet, es muss aber nicht die Zahl 0 damit gemeint sein). Ein neutrales und inverses Element bezüglich der * Verknüpfung muss nicht existieren.
Weil die Ringoperationen bei den anschaulichsten Ringen eben Addition und Multiplikation sind, überträgt man diese Namen auf alle Ringoperationen. Das ist im Rahmen der Theorie der Ringe eine reine Benennungskonvention.
Im Einzelnen müssen die Verknüpfungen die geforderten Axiome (insbesondere Distributivität) erfüllen, ansonsten können sie tatsächlich beliebige Verknüpfungen sein.
Die Definition des Rings ist doch eindeutig, sollte man meinen.
Noch eine Frage: Ein Ring muss nur ein additiv inverses und neutrales Element haben, aber nicht bzgl. der Multiplikation?