Zeigen, dass Q[√2] mit der Addition und Multiplikation reeller Zahlen ein Körper ist?
Mir macht eine Aufgabe im Mathestudium schwer zu schaffen:
Aufgabe 2.1. Sei Q[ √ 2] die folgende Teilmenge der Menge der reellen Zahlen:
Q[ √ 2] = {x + y √ 2; x, y ∈ Q}.
Zeigen Sie, dass Q[ √ 2] mit der Addition und Multiplikation reeller Zahlen ein Körper ist.
Meine Idee ist, dass mit den Körperaxiomen für Addition und Multiplikation zu beweisen, aber ich weiß einfach nicht wie...
Hoffe jemand kann mir helfen^^'
1 Antwort
Hallo,
zunächst zeigt man, dass Addition und Multiplikation zweier Elemente
aus Q[√2] nicht aus Q[√2] herausführen, also immer noch ein Element
von Q[√2] ist.
Seien u = a+√2b und v=c+√2d ∈ Q[√2] .
Ist u + v immer noch von der Form a' + √2b' ?
Nachweis durch einfaches Ausrechnen.
Ist u • v immer noch von der Form a' + √2b' ?
Nachweis durch einfaches Ausmultiplizieren.
Dann zeigst du, dass ( Q[√2], + ) eine (additive) Gruppe bildet.
Du prüfst die Gruppenaxiome nach, d.h. gib zu einem beliebigem Element
a+√2b das additiv Inverse Element an.
Was ist das additiv neutrale Element in Q[√2] ?
(Antwort einfach!)
Dann das Assoziativgesetz zeigen. Gilt (u + v) + w = u + (v + w)
mit u, v, w ∈ Q[√2] ?
Nun die gleiche Prozedur mit ( Q[√2]\{0}, • )
Gib zu beliebigem u = a+√2b ≠ 0 aus Q[√2] das inverse u⁻¹ an.
Was ist das neutrale Element bzg. der Multiplikation von Q[√2] ?
(Antwort einfach!)
Assoziativ Gesetz bzgl. der Multiplikation nachprüfen.
Nun noch das Distributivgesetz prüfen, wieder durch einfaches Nachrechnen.
Gruß
