Quadratpflanze?
Ich brauche Hilfe bei den folgenden Aufgabe.
Die Seitenlänge des ersten Quadrates ist 1m. Täglich kommt eine Generation kleinerer Quadrate dazu, deren Seitenlänge nur noch ein Drittel der vorherigen Quadrate beträgt.
A) Berechne den Umfang der Pflanze Q1 Q2, Q3, Qn.
B) Berechne den Flächeninhalt der Pflanzen Q1, Q2, Q3, Qn.
ich weiß nicht, wie ich vorgehen soll.
Danke im Voraus :)
3 Antworten
Zunächst: Willkommen in der Welt der Fraktale!
Bei der Figur 2 kannst du schon einmal "von Hand" anfangen: Auf der ersten Seite wird die bisherige Länge von 1 ersetzt durch 1/3 (bis zum "Knick") +3 x 1/3 (die "Ausbuchtung") + nochmal 1/3, also insgesamt 5/3. Das für alle relevanten Seiten, was zu der Frage führt:
Stimmt die "Figur 2" eigentlich? Nach der Aufgabe sind alle vier Seiten betroffen, nach der Figur nur drei. Also 3 oder 4 * 5/3m für Q1, im Fall von 3 noch "+1m" für die vierte Seite. Drei Seiten machen übrigens das Ganze etwas einfacher.
Im zweiten Schritt (Q2): Jede "gedrittelte" Strecke (also fünf pro Seite) wie im ersten Schritt durch fünf Strecken der Länge 1/9 ersetzen.
Macht 4 (oder 3, falls die "Unterseite" nicht gilt) * 5(vom ersten Schritt) * 5 * 1/(3*3).
Allgemein also: 5 hoch(Anzahl der Schritte) durch 3(oder 4) hoch (Anzahl der Schritte) oder (5/3)^n mal m für die Länge.
Ähnlich machst du das (selbst) für den Flächeninhalt: erst Ausgangsquadrat, dann drei (oder vier) weitere Quadrate mit Seitenlänge 1/3, dann die nächsten (drei oder vier) Mal 3 dazu mit Seitenlänge 1/9 usw. Daraus sollte sich etwas Ähnliches ergeben wie oben.
Viel Erfolg!
Du fängst einfach damit an, dass für q1, q2, q3 ... aufzuschreiben.
Ich fang mal an. Der Umfang von q1 ist 4.
Wenn ich mir jetzt so eine Knospe anschaue: WIE verändert sich der Umfang?
Es fällt ein Drittel einer Seite weg (dort wo sie wächst) und drei Drittel kommen dazu. Dass passiert an drei Seiten. Also
Q2 = Q1 + 3* (-1/3 + 3/3) = 4 + 2.
Umfang:
Im ersten Schritt kommen an 3 Seiten drei neuen Seiten mit 1/3 der ursprünglichen Länge dazu, eine fällt weg, macht
4 + 3 * 2/3 = 6
Im nächsten Schritt kommen an den drei neuen Quadraten an je 3 Seiten …… macht
4 + 3 * 2/3 + 3 * 3 * 2/9 = 8
Also kann man raten, dass nach Schritt n die Länge 4 + 2n ist.
Fläche:
Im ersten Schritt kommen an 3 Seiten drei neue Quadrate mit 1/3 der ursprünglichen Fläche dazu, macht
4 + 3 * (1/3)^2
Im nächsten Schritt kommen an den drei neuen Quadraten an je 3 Seiten …… macht
4 + 3 * (1/3)^2 + 3 * 3 * (1/9)^2
Also kann man raten, dass nach Schritt n die Länge 4 + 1/3 + 1/9 + …… + 1/3^n ist.
Der Grenzwert hiervon für n gegen unendlich beträgt 3 + 3/2.
Nur dass ich bei der Fläche wegen Copy / Paste mit 4 statt 1 angefangen habe, peinlich ….. Der Grenzwert ist damit 3/2.
Danke sehr für die Hilfe!