Quadratisch ergänzen?

Wie kann man folgende Gleichung quadratisch ergänzen?
a x1^2 + 2 * b * x1 * x2 + c * x2^2

Gibt es da einen Ansatz bzw. eine Systematik mit der man Vorgehen kann?

Bin gerade etwas ratlos...

vielen Dank!

Answer 1

[mihisu]

Man kann beispielsweise so (bzgl. x₁) quadratisch ergänzen...

$a\cdot x_1^2+2\cdot b\cdot x_1\cdot x_2+c\cdot x_2^2$

$=a\cdot \left(x_1^2+2\cdot \frac{b}{a}\cdot x_1\cdot x_2\right)+c\cdot x_2^2$

$=a\cdot \left(x_1^2+2\cdot \frac{b}{a}\cdot x_1\cdot x_2+\left(\frac{b}{a}\cdot x_2\right)^2-\left(\frac{b}{a}\cdot x_2\right)^2\right)+c\cdot x_2^2$

$=a\cdot \left(\left(x_1+\frac{b}{a}\cdot x_2\right)^2-\left(\frac{b}{a}\cdot x_2\right)^2\right)+c\cdot x_2^2$

$=a\cdot \left(x_1+\frac{b}{a}\cdot x_2\right)^2-a\cdot \left(\frac{b}{a}\cdot x_2\right)^2+c\cdot x_2^2$

$=a\cdot \left(x_1+\frac{b}{a}\cdot x_2\right)^2-a\cdot \frac{b^2}{a^2}\cdot x_2^2+c\cdot x_2^2$

$=a\cdot \left(x_1+\frac{b}{a}\cdot x_2\right)^2-\frac{b^2}{a}\cdot x_2^2+c\cdot x_2^2$

$=a\cdot \left(x_1+\frac{b}{a}\cdot x_2\right)^2+\left(-\frac{b^2}{a}+c\right)\cdot x_2^2$

Bzw. kann man andererseits auch (bzgl. x₂ quadratisch ergänzt)...

$a\cdot x_1^2+2\cdot b\cdot x_1\cdot x_2+c\cdot x_2^2$

$=[\dots]$

$=c\cdot \left(x_2+\frac{b}{c}\cdot x_1\right)^2+\left(-\frac{b^2}{c}+a\right)\cdot x_1^2$

... erhalten.

Die Vorgehensweise ist im Grunde genauso wie bei einer normalen quadratischen Ergänzung (https://de.wikipedia.org/wiki/Quadratische_Ergänzung), nur dass man hier eben eine der Variablen x₁ bzw. x₂ wie die Variable x im allgemeinen Verfahren betrachtet und die andere Variable quasi wie eine Konstante behandelt.