Problem mit Steckbriefaufgabe (Mathe)?
Moin,
Ich soll aktuell über einen Zeitraum eine Steckbriefaufgabe, sprich eine Aufgabe in der man eine Funktion ermitteln soll, lösen. Es geht um eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit folgenden Informationen:
- Die Funktion ist punktsymmetrisch durch den Ursprung
- Es gibt ein Maximum bei x=√3
- Die Funktion schließt im ersten Quadranten mit der x Achse eine Fläche von 9/4 bzw 2.25 ein
Nun zu meinem Problem: Soweit ich weiß entfallen aufgrund der Punktsymmetrie alle "Indikatoren" mit geradem x Exponenten. Dadurch würde sich aus f(x)=ax^3+bx^2+cx (d entfällt ohnehin, da die Funktion durch den Ursprung geht) die folgende Funktion ergeben: f(x)=ax^3+cx.
Als mein Taschenrechner das Lineare Gleichungssystem nicht lösen konnte dachte ich, dass ich vielleicht einen Fehler beim Interval des Integrals gemacht habe, weswegen ich die Funktion mal Testweise mit a=2 und c=2 in Geogebra eingegeben habe um zu schauen ob der "Berg" symmetrisch ist, um daraus das Ende des Intervals schließen zu können. Dort viel mir dann auf, dass es für diese Funktion kein Maximum gibt da sie unendlich nach oben schießt.
Ich bin die Aufgabe jetzt mehrmals durchgegangen und konnte keinen Fehler finden. Was mache ich falsch? Oder ist die Lösung der Aufgabe, dass diese Funktion unmöglich ist?
Die originale Aufgabenstellung befindet sich unten.
Vielen dank schonmal für alle hilfreichen Antworten.
1 Antwort
Punktsymetrie f(x)=-1*f(-x) mit n=ungerade
f(x)=a3*x³+a1*x+ao mit n1=3=ungerade und n2=1=ungerade
mit f(0)=0=0+0+ao → ao=0
bleibt
f(x)=a3*x³+a1*x integriert
F(x)=1/4*a3*x⁴+1/2*a1*x²+C
A=obere Grenze minus untere Grenze=F(xo)-F(xu)
die Integrationskonstante C hebt sich hierbei auf → +C-C=0
xo=Nullstelle auf der positiven x-Achse xo>0
xu=0 ist der Ursprung
A=9/4=(1/4*a3*xo⁴+1/2*a1*xo²) - (1/4*a3*0⁴+1/2*a1*0²)
A=9/4=1/4*a3*xo⁴+1/2*a1*xo²
1) 9/4=1/4*a3*xo⁴+1/2*a1*xo²
f(x)=a3*x³+a1*x abgeleitet
f´(x)=m=0=3*a3*x²+a1 Maximum bei x=Wurzel(3)=1,73205..
2) 0=3*a3*3+a1
3) f(xo)=0=a3*xo³+a1*xo
wir haben hier nun 3 Unbekannte,a3,a1 und xo und auch 3 Gleichungen,also lösbar
Den Rest schaffst du selber.
Hier eine Muster Graph f(x)=-0,5*x³+2*x Nullstellen x1=-2 und x2=0 und x3=2
Fläche A zwischen xo=2 und xu=0 (I Quadrant) A=2 FE (Flächeneinheiten)
1) diesen Graph zeichnen
2) die Fläche A berechnen → integrieren xo=2 und xu=0
Mit diesen Werten kannst du dann jeden deiner Rechenschritte auf Richtigkeit überprüfen.
Die Fläche A=9/4 liegt im I Quadranten über der x-Achse
Als Beispielgraph habe ich angegeben y=f(x)=-0,5*x³+2*x
Nullstellen bei x1=-2 und x2=0 und x3=2
Fläche zwischen den Graphen und der x-Achse untere Grenze x2=xu=0 und obere Grenzex3=xo=2
mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio)
A=2 FE Flächeneinheiten
rechne zuerst mal diese Aufgabe durch,dann hast du einen Überblick
integriert
F(x)=-0,5*∫x³*dx+2*∫x*dx
F(x)=-0,5/4*x⁴+1*x²+C
F(x)=-0,125*x⁴+1*x²+C
A=obere Grenze minus untere Grenze xo=2 und xu=0
A=(-0,125*xo⁴+1*xo²) - (-0,125*xu⁴+1*xu²)
A=(-0,125*2⁴+1*2²--) - (-0,125*0⁴+1*0²)
A=(-2+4) - (0)
A=2 FE
also → xo=.. ist die Nullstelle (Schnittstelle mit der x-Achse),die ganz rechts liegt
Nachdem ich jetzt ein paar Stunden lang immer mal wieder auf neue Ideen kam, etwas gegoogelt hab und dann wieder verzweifelt bin, habe ich mittlerweile einen passenden Rechner im Netz gefunden und seit dem auch das ganze Prinzip dahinter durchblickt. Bis eben hatte mich die zusätzliche, neue Variable xo irritiert, und wie ich diese im Taschenrechner mit eingebe. Hat sich nun aber durch den anderen Rechner gelöst.
Ich kann deine Rechenschritte jetzt nachvollziehen, auch wenn es bei einer anderen Aufgabe wahrscheinlich noch etwas haken würde.
Trotzdem war es schonmal eine sehr große Hilfe, also vielen Dank nochmal dafür.
Edit: Hab deine neue Antwort erst jetzt gesehen als meine Antwort abgeschickt wurde. Schau ich mir gleich noch an.
Moin, erstmal danke für die Ausführliche Antwort, auch wenn mich die Variablen etwas verwirren da ich es einfach anders kenne. Ich habe mir das ganze jetzt durchgelesen, und der Ansatz mit dem Ende des Integrals als Variable anstatt einer Annahme so wie ich es getan habe macht auf jeden Fall Sinn. Ich verstehe gerade nur leider nicht genau, wie ich das alles Schlussendlich lösen, sprich in das lineare Gleichungssystem eingeben soll.
Gelernt habe ich es so, dass man die Werte für alle 3 Gleichungen (also z.B. für deine erste Funktion 9/4, 1/4, 0, 1/2) in das Gleichungssystem eingibt und am Ende halt das Ergebnis ausgespuckt bekommt. Allerdings weiß ich gerade nicht, was ich für xo eingeben soll.
Wahrscheinlich dumme Frage, aber wie kann man das Problem lösen?