Potenzen, Multiplizieren, Variablen?
Hallo liebe Community,
ich hätte eine Frage zu Potenzen.
Natürlich weiß ich wie die Potenzregeln an sich so sind, aber bei diesen Buchaufgaben hätte ich dennoch eine Frage.
Eine Potenzregel lautet ja, dass wenn weder die Basen, noch die Exponenten gleich sind, zwei Potenzen nicht multipliziert werden können.
Aber bei diesen Buchaufgaben geht es durchaus.
Liegt dieser Unterschied vielleicht an den Variablen?
Denn bei diesen Aufgaben soll man die Zahlen multiplizieren, und die Exponenten (bei einer Multiplikation) addieren. (Was den Potenzregeln nahe kommt, aber nicht übereinstimmend ist.)
Wo liegt der Unterschied?
Beispiel: Bei der Nr.4e) sind die Basen UND die Exponenten gleich. Nach der Regel müsste das Ergebnis dann 16 s^2 sein. Stimmt das?
Vielen Dank!
4 Antworten
Aufgabe 4e: 4s² • 4s² = 4 • 4 • s² • s² = 16s^4
Ich weiß jetzt nicht, welche Regel du genau meinst.
Auf jeden Fall gilt: s² • s² = s^4,
weil s² = s•s und s²•s²=s•s•s•s=s^4
Und 4s² • 4s² = 4•s•s•4•s•s = 16s^4
Meinst du die Regel: x³ • y³ = (xy)³
Ich habe ein zweites Bild unter meiner Frage hochgeladen. Die zweite Regel auf diesem Blatt meine ich.
Ja, das ist die Regel: x^n • y^n = (x•y)^n
Und die steht nicht im Widerspruch zu dem, was ich geantwortet hab :-)
4s² • 4s² = 4•4 • s² • s² = 16 • (s•s)² = 16•(s²)² = 16s^4
Achso. Ist das dann bei Potenzen wie 3^5 * 5^5 anders? Dass der Exponent im Ergebnis dann nicht ^10 sondern ^5 wie auf dem zweiten Bild unter meiner Frage?
Ist also grundsätzlich ein Unterschied zwischen den Aufgaben im Buch und Potenzen wie 3^5 ohne Variablen?
Sorry, aber du beschreibst das irgendwie merkwürdig ;-)
Bei s²•s² kannst du die Regel mit dem "gleichen Exponenten" anwenden, dann kommt raus: s²•s² = (s•s)² In diesem Schritt ist der Exponent noch der selbe, aber dann würde man noch weiterrechnen:
(s•s)² = (s²)² und das ergibt dann s^4
Der Exponent 4 ergibt sich, weil's hier die selbe Basis ist.
Eigentlich sieht man aber bei dieser Aufgabe s²•s² gleich, dass: s²•s²=s•s•s•s=s^4 Also das selbe Ergebnis, egal, wie man rechnet :-)
Bei 3^5 • 5^5 kannst du wieder deine Regel mit dem "gleichen Exponenten" anwenden, dann kommt raus:
3^5 • 5^5 = (3•5)^5 = 15^5
Da kommt auf KEINEN Fall der Exponent 10!!!
Das sieht man, wenn man es auch für dieses Bsp. mal ausführlich aufschreibt:
3^5 • 5^5 = 3•3•3•3•3•5•5•5•5•5 = 3•5•3•5•3•5•3•5•3•5 = (3•5)•(3•5)•(3•5)•(3•5)•(3•5) = 15•15•15•15•15 = 15^5
Also die Regeln gelten IMMER, egal ob da Zahlen oder Variablen stehen. Und manchmal kann man dann noch weiterrechnen, um den Term weiter zu vereinfachen :-)
Ok Entschuldige. Bei der Nr.4c) sieht man, dass weder die Basen, noch die Exponente gleich sind. Also lässt sich das doch nicht berechnen?
Ja genau, die Lösung habe ich auch, aber es geht um die Potenzgesetze! Eines dieser Gesetze besagt, dass wenn weder Basis noch Exponent gleich ist, sich das nicht berechnen lässt. Ich möchte auf die Schlussfolgerung kommen, was dann der Unterschied ist, wenn sich die 4c) also berechnen lässt.
Die Basis ist dann was anderes also in 4c) oder? Also die allgemeine Regelung
Ja, wenn weder Basis noch Exponent gleich sind, dann kann man es nicht direkt zusammenfassen.
Bei der Aufgabe 2c•3c² kannst du aber 2•3 "ausklammern" und dann bleibt:
2c•3c² = (2•3) • (c•c²)
Auf die 2. Klammer kannst du dann die Regel mit der selben Basis anwenden: c•c² = c^(1+2) = c³
Dann ergibt sich insgesamt auch 6c³ als Ergebnis.
Achh okay! Vielen Vielen Dank!! Beispielsweise bei 4s^2 wäre dann die Variable s die Basis oder?
Ja genau, bei 4s² bezieht sich das "hoch 2" nur auf s. Die 4 ist nur ein Faktor davor, die 4 wird NICHT quadriert.
Nur wenn da (4s)^2 stehen würde, mit Klammern, dann wäre 4s die Basis und dann wäre das: (4s)² = 16s²
Also ist das bei (s^2)^2, was Sie oben erklärt haben, wenn man mit dem Term weiterrechnen würde, dann eine Ausnahme oder? Haben Sie auch andere Beispiele? Denn wenn die Exponenten gleich sind, würde ich da eigentlich nicht mehr weiterrechnen :-)
Ja, es kommt eben immer drauf an, was und zu welchem Zweck man rechnet. Wenn ihr für die Schule nur die Anwendung der Potenzregeln üben sollt, dann ist das was anderes als das, was Mathematiker "im echten Leben" machen. Ein Mathematiker würde niemals (s²)² als Ergebnis stehen lassen, sondern weiter vereinfachen zu s^4.
Wenn euer Lehrer jedoch (s²)² als Ergebnis haben will, dann ist das auch ok ;-)
Ja stimmt. Aber wenn man s^3 • s^3 rechnet, dann würde ich s^3 hinschreiben, weil die Exponenten gleich sind.
Oder mit Zahlen: 5^3 • 2^3 = 10^3.
(5•2)^3 wäre das dann oder?
Die Regel mit s^2, welches im Ergebnis dann zu ^4 wird (was Sie oben erklärt haben) irritiert mich dann, weil ich nach der Regel hervorgehen würde :-/
Da begehst du einen großen Denkfehler!
s^3 • s^3 ist nach der Regel mit den selben Exponenten (s•s)^3 und NICHT s^3
Bei einem Produkt mit gleichen Exponenten sagt die allgemeine Regel:
a^n • b^n = (a•b)^n
Wenn a=s und b=s dann heißt das:
s^n • s^n = (s•s)^n
Wenn a=5 und b=2 dann heißt das:
5^n • 2^n = (5•2)^n = 10^n
Genau, entschuldige. Habe mich falsch ausgedrückt.
Sie haben mir ja oben vorgerechnet, dass bei 4s^2 • 4s^2 = 16s^4 herauskommt. Die Rechnung habe ich verstanden aber ist das nicht eine Art Ausnahme, irgendwie bezogen auf ^2? Weil die Exponenten ja gleich sind, wie unterscheide ich ob ich nun ^4 oder ^2 schreibe, da die a^n • b^n = (a•b)^n besagt.
Nein das ist keine Ausnahme sondern die normale Potenzregel und danach noch 1 Schritt weiter vereinfacht!
4s² • 4s² = 4•4 • s²•s² = 16 • (s•s)² So ist die Regel!
Wenn man das dann noch weiter vereinfacht, ergibt das:
16 • (s•s)² = 16 • (s²)² = 16s^4
Der Vergleich mit: a^n • b^n = (a•b)^n ergibt sich, wenn hier a=b gelten würde =>
=> a^n • a^n = (a•a)^n = (a²)^n = a^(2n)
Zur Übung ist das doch auch richtig oder? 4x^2 • 4y^2 = 16 • (xy)^2 = 16xy^2 :-)
Der letzte Schritt ist leider falsch!
Wenn du 16xy^2 schreibst, ist da das x NICHT quadriert :-(
Richtig: 16•(xy)² = 16x²y²
Und wie würde ich 1,166666667 kurz schreiben? 1,16 Periode 7(mit einem Strich über der 7) oder 1,1 Periode 67? :-)
Ja, das stimmt.
Hallo,
was Aufgabe 4e anbelangt, hast Du recht mit 16s².
Bei anderen Aufgaben liegt der Fehler darin, daß Faktoren z.T. addiert werden, während die Variablen multipliziert werden. 2c*3c² sind nicht 5c³, sondern 6c³.
Du hast es hier übrigens nicht mit unterschiedlichen, sondern mit gleichen Basen zu tun. Die Basis ist in dem Fall c, und nur darauf bezieht sich der Exponent. Du rechnest also 2*3*c*c²=6*c^(1+2)=6*c³.
Die anderen Aufgaben haben ähnliche Muster.
Herzliche Grüße,
Willy
Bei der Nr.1a) beispielsweise sind aber weder die Basen, noch die Exponenten gleich, oder beispielhaft auch bei den darauffolgenden Aufgaben. Dann kann man sie nicht multiplizieren, laut den Potenzregeln.
Wo liegt der Unterschied? Denn die Aufgabe kann man sehr wohl ganz einfach berechnen. Das wäre die wichtigste Frage für mich. (Wie auch oben der erste Teil meiner Fragestellung)
Danke :)
Wenn ich das richtig sehe, lautet Aufgabe 4e: 4s² • 4s²
Und das ist: 16s^4
Ja klar. Das liegt daran, daß man immer zwischen Foto und Antwort hin und herschalten muß. Ich hatte 4s*4s im Kopf und nicht mehr nachgesehen. 4s²*4s²=16s^4
Ach, alles klar. Die Aufgaben 1-4 hier haben fast nichts mit Potenzen zu tun, deshalb gelten die Potenzgesetze auf dem zweiten Bild, welches ich hochgeladen habe, nicht oder?
Daher auch 4s^2 * 4s^2 = 16s^4, und nicht 16s^2? (Da nach der Regel ja die Exponenten gleich bleiben müssen.)
Also meine Lösungen zur Nr.4) :
a) 3a^2
b) y^3
c) 6c^3
d) 2m^3
e) 16s^4
f) a^2 b^2
4e) muss die Lösung heißen: 16s^4
Aber es gibt doch eine Potenzregel, die besagt, dass gleiche Exponenten im Ergebnis auch gleich bleiben. :-)