Potentielle Energie, woher kommt diese formel?
Hey ich beschäftige mich momentan mit der Herleitung des 1.keplerschen Gesetz. Momentan geht es um die Beschreibung der gesamtenergue in Polarkoordinaten. Die Potentielle Energie kenne ich in der Regel als folgende Formel: Epot=m*g*h
Hier wird Epot aber so angegeben: Epot=-G*m*M *1/r
Woher kommt diese Formel? Was ist M und warum minus und nicht plus?
5 Antworten
E=m*g*h
Kommt aus dem folgenden Zusammenhang:
g=G*M/r^2
r wird als konstant angenommen für Verhältnismäßig kleine höhenänderungen gegenüber dem Erdradius.
Multipliziert mit der Masse m ergibt sich Fg=m*g
Somit haben wir eine Kraft entlang der Strecke h.
Wie man bereits sieht gilt die Gleichung nicht für beliebige Höhen. Stellen wir uns z.b. die Frage wie viel Energie nötig ist um eine Rakete auf die Erdumlaufbahn zu befördert spielt der Faktor 1/r^2 sehr wohl eine Rolle. Die Energie ergibt sich dann über das Integral.
Die Stamfunktion von 1/r^2 ist -1/r integrieren wir von r bis unendlich weil wir uns jetzt die Frage stellen wie viel Energie frei wird wenn wir uns einer Masse nähren (also den umgekehrten Weg gehen)
Dann teilen wir ja 1/unendlich und das ist praktisch 0 und 0-1/r=-1/r
Also bleibt:
E=-G*M*m/r
Es ergibt sich also aus dem Integral
M ist die Masse der Sonne.
Die Gravitationsfeldstärke ist g = G *M / r², die Höhe ist h = r.
So kommt man von Epot=m*g*h auf Epot=-G*m*M *1/r.
Für die potentielle Energie braucht man einen Bezugspunkt, wo sie 0 ist. Normalerweise nimmt man die Erdoberfläche, aber das wäre hier völliger Quatsch. Sonnenoberfläche ist auch nicht viel besser. Also nimmt man einen unendlich weiten Punkt, wegen des Faktor 1/r ist die potentielle Energie dort 0. Da der Planet dichter an der Sonne dran ist, muss seine Energie kleiner sein, deshalb wird sie negativ.
Woher kommt diese Formel?
Die leitet sich aus dem Newtonschen Gravitationsgesetz ab. Demnach ziehen sich zwei Körper mit der Kraft Fg gegeneitig an:
Fg(r) = G * m1 * m2 * 1/r^2
Verschiebt man einen Körper in diesem Kraftfeld um die Strecke r, beträgt die erforderliche Arbeit W:
W = F * r = G * m1 * m2 * 1/r
(das ist vereinfacht. Streng genommen müsste man hier integrieren, was aber zum selben Ergebnis führt).
Statt m1 und m2 schreibt man häufig auch M und m, wobei M die Masse des großen und m die Masse des kleinen Körpers ist.
Der Betrag der Verschiebearbeit in dem Gravitationsfeld entspricht dann dem Betrag der Differenz der potenziellen Energie zwischen beiden Punkten.
Der Bezugspunkt, auf den man die potenzielle Energie bezieht, ist beliebig. Aus rein praktischen Erwärgungen legt man im astronomischen Maßstab den Bezugspunkt ins Unendliche. Mit r = unendlich wird dann Epot zu 0. Dadurch ergibt sich automatisch, dass bei endlichen Abständen Epot minus sein muss, denn die nimmt ja mit abnehmendem Abstand ab und das geht eben nur, wenn sie negativ wird.
Die obige Formel gibt den Absolutbetrag von Epot an. Sobald man mit Differenzen von Epot rechnet, läuft das auf die dir bekannte Formel hinaus:
Epot=m*g*h
Die ist eine vereinfachte Ableitung aus der allgemeingültigen Formel für Epot. Sie gilt nur für kleine Abstände zur Erdoberfläche, solange man g als konstant annehmen kann. Bei Trabanten macht das aber keinen Sinn mehr. Und genaugenommen lautet die Formel auch nicht:
Epot=m*g*h
sondern
∆Epot=m*g*∆h
Dabei ist der Erdradius re, die Erdmasse M sowie die Gravitationskonstante G in g sozusagen schon eingepreist. ∆h entrpicht dann r2 - r1.
das ist die potentielle energie im gravitationsfeld (für ein punktmasse, bzw. ein sphärisch symmetrische masse). das ist immer so. das ist die fundamentale formel die du kennen solltest.
Woher kommt diese Formel?
direkt aus dem Newtonschen gravitationsgesetz. die definition des potentials ist
und die gravitationskraft ist
(negativ weil anziehend)
und damit findest du direkt
Die Potentielle Energie kenne ich in der Regel als folgende Formel: Epot=m*g*h
das ist nur die näherung für kleine distanzen und wenn du weit genug weg vom zentrum bist. Die potentielle energie im abstand h zu einem referenzpunkt R_0 (z.B. die erdoberfläche) ist
und mit
erhältst du damit
1. Die Formel kommt letztlich aus dem Gravitationsgesetz.
2. M ist die Masse des stellaren Objekts (Erde, Sonne, ...)
3. Man teilt dem 'freien' Objekt der Masse m die potentielle Energie 0 zu. Wenn es sich einem Planeten, oder einem Stern annähert SINKT seine potentielle unter Null, nimmt also einen negativen Wert an. Daher erhält der Term ein negatives Vorzeichen!
Da r im Nenner steht, führt ein kleiner Abstand zu einem großen Betrag, aber mit negativen Wert. Erhöht man den Abstand, wird der Betrag immer kleiner. Aber durch das Vorzeichen nähert sich der Wert immer weiter Null an.