Polstellen (mit und Ohne VW) bei gebrochen rationalen Funktionen?
Hi ich würde gerne wissen wie man das Verhalten vom Unendlichen an Polstellen herausfindet ohne Graph und wie man Polstellen mit und ohne Vorzeichenwechsel bestimmt. Das ganze soll sich auf gebrochen rationale Funktionen beschränken
1 Antwort
Polstellen sind ja da, wo nur der Nenner Null wird, d. h. im Zähler kannst Du diese Stelle einfach einsetzen und erhältst einen konkreten Wert; dabei ist aber nur das Vorzeichen wichtig. Im Nenner musst Du nun einmal von links an die Polstelle ran und einmal von rechts. In beiden Fällen geht der Nenner Richtung Null, d. h. der komplette Bruch geht Richtung unendlich; ob plus- oder minus-unendlich entscheiden die Vorzeichen von Zähler und Nenner.
D. h. Du setzt im Zähler die Polstelle ein und im Nenner einen Wert "knapp daneben" und "verrechnest" nur die Vorzeichen.
So schwer ist das doch nicht!
Beispiel: f(x)=(x-3)/(x-2)
Definitionslücke (Polstelle) bei x=2 (da wird der Nenner Null).
Im Zähler kannst Du bei der Berechnung des lim x->2 f(x) einfach diese 2 einsetzen, ergibt -1, d. h. Du hast quasi -1/(x-2). Beim l-lim kommst Du von links an die zwei ran, d. h. Du hast im Nenner 1,999...-2, d. h. einen negativen Wert knapp unter Null, d. h. Zähler und Nenner sind negativ, d. h. der Bruch wird positiv (minus durch minus gleich plus), und Nenner gegen Null bedeutet Bruch gegen unendlich, in diesem Fall dann plus-unendlich.
Beim r-lim hast Du im Nenner 2,000...1-2, also einen positiven Wert, also für den gesamten Bruch einen negativen Zähler und positiven Nenner, also negativen Bruch (minus durch plus gleich minus), also Grenzwert minus-unendlich.
Bei z. B. f(x)=(x-1)/(x-2)² ist der Zähler für x=2 gleich 1, also positiv und der Nenner wegen dem Quadrat immer positiv, also hast Du von links und rechts Richtung Polstelle jeweils plus-unendlich.
Vielen Dank ivh habs zwar immer novh nivht gemau verstanden aber danke für deine Mühe👍