Orthogonales Skalarprodukt?

Bei einem Skalarprodukt von einem nullvekror haben wir den orthogonalen Fall. Ich denke es ist i.d.R bekannt.

Nun habe ich in der Optik zwei Jones- vektoren: E_t= (1/wurzel(2))(1,i) und e_r=(1/wurzel(2))(1,-i). Ich soll nun beweisen, das sie orthogonal zueinander sind, in dem ihr skalarprodukt den nullvektor ergibt.

Ich komme da 0,5 +0.5= 1, da i^2=-1?

Perfekt wäre es wenn es-0.5 wäre.

Kann mir jemand den Fehler erklären? Es ist dringend, danke.

Answer 1

[mihisu]

Hast du bedacht, dass beim Skalarprodukt in komplexen Vektorräumen bei einem der beiden Vektoren die Einträge komplex-konjugiert werden? Da liegt, so vermute ich, dein Fehler.

Beim Standard-Skalarprodukt im ℂ² gilt ...

$\left\langle \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}\right\rangle=\overline{v_1}\cdot w_1+\overline{v_2}\cdot w_2$

Es gilt NICHT allgemein...

$\left\langle \begin{pmatrix}v_1\\v_2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}w_1\\w_2\end{pmatrix}\right\rangle=v_1\cdot w_1+v_2\cdot w_2$

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Im konkreten Fall, mit...

$\vec{E}_\text{t} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ \text{i}\end{pmatrix},\quad \vec{E}_\text{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ -\text{i}\end{pmatrix}$

... gilt...

$\left\langle \vec{E}_\text{t}, \vec{E}_\text{r}\right\rangle=\overbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 1}^{\overline{E_{\text{t}1}}}\cdot \overbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot 1}^{E_{\text{r}1}}+\overbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(-\text{i}\right)}^{\overline{E_{\text{t}2}}}\cdot \overbrace{\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot \left(-\text{i}\right)}^{E_{\text{r}2}}$

$=\frac{1}{2}\cdot 1^2+\frac{1}{2}\cdot \left(-\text{i}\right)^2=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot \left(-1\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$

Comments

[Merve999]

Ich danke sehr. Ich habe dies ebenfalls für die anmerkung: kanonische skalaprodukt entdeckt. Das hatten wir im studium so in der form nicht. GUTEN abend!!!