Optimierung Verpackung?

Moin. Ein Karton (Quader) hat das Volumen 1L/1dm^3. Wie lang müssen die Seiten sein, damit der Verpackungsaufwand minimal ist. O=2(a•b+b•c+a•c). Normalerweise fällt mir sowas nicht schwer, aber ich stehe gerade aufm Schlauch. Hat jemand eine Ahnung?

Answer 1

[Vampirjaeger]

Neben dem festen Volumen braucht du hier eigentlich noch eine zweite Nebenbedingung, um weiterzukommen.

Comments

[Maruu82]

Hab ich mir auch schon beim Lösen gedacht, habe aber vermutet es gäbe einen Lösungsweg, den ich noch nicht kenne. Danke auf alle Fälle

Answer 2

[Rammstein53]

V = a*b*c -> a = 1000/(bc)

O(a,b,c) = 2*a*b + 2*b*c + 2*a*c

a einsetzen:

O(b,c) = 2000/c + 2*b*c + 2000/b

partielle Ableitungen:

d O(b,c)/db = 2c - 2000/b²

d O(b,c)/dc = 2b - 2000/c²

Für einen Extremwert von O(b,c) muss gelten:

2c - 2000/b² = 0

2b - 2000/c² = 0

Lösung des GLS:

b = 10, c = 10 -> a = 10

Answer 3

[ralphdieter]

c=1/(ab) kannst Du einsetzen. Dann halte a fest und berechne dazu das optimale b(a). [zur Kontrolle: b=1/√a]

Dieses b(a) kannst Du wieder in Deine Zielfunktion einsetzen [2√a−1/a²], und nun das optimale a berechnen [a=1]. Zusammen mit b=b(1) und c=1/ab gibt das die Lösung.

Im Allgemeinen sind zweidimensionale Optimierungsprobleme schwieriger, aber hier hier hat man für jedes a genau ein optimales b. Das vereinfacht die Sache.