Normalparabel Fehlende Koordinaten bestimmen?

Die Normalparabel hat die Formel f(x)=x zum Quadrat. Also muss man um z.B (10/y) hier das y zu bekommen einfach den 10 zum Quadrat rechnen. Ich habe nur das Problem, dass bei meiner Parabel der Scheitelpunkt bei (8/-19) liegt und ich muss alle x und y Werte für A(7/y) und B(x/-10) angeben. Ich habe die Lösungen vor mir y=-18 x1=5 x2=11. Wie komme ich rechnerisch darauf?

Answer 1

[realJackboyPlay]

Wir wissen, dass eine Normalparabel vorliegt und haben den dazugehörigen Scheitelpunkt, weswegen wir die Funktionsgleichung der Parabel ermitteln können.

Die allgemeine Scheitelpunktsform lautet folgendermaßen:

$f\left(x\right)=a\cdot\left(x-d\right)^{^2}+e$

Da wir wissen, dass der Scheitelpunkt unserer Parabel bei S(8 | -19) liegt, können wir für a = 1 festlegen, da die Parabel weder gestreckt noch gestaucht wird, wir können d = 8 festlegen, da die Parabel um 8 Einheiten nach rechts auf der x-Achse verschoben wurde und man kann e = -19 festlegen, da die Parabel um 19 Einheiten auf der y-Achse nach unten verschoben wurde.

Also muss unsere Funktionsgleichung folgendermaßen lauten:

$f\left(x\right)=1\cdot\left(x-8\right)^{^2}+\left(-19\right)$ $f\left(x\right)=\left(x-8\right)^{^2}-19$

Nun können wir auch die Punkte A(7 | y) und B(x | -10) ermitteln.

Um den y-Wert zu ermitteln, müssen wir einfach den x-Wert in die Funktionsgleichung einsetzen.

$f\left(7\right)=\left(7-8\right)^{^2}-19$ $f\left(7\right)=1-19$ $f\left(7\right)=-18$

Also wissen wir, dass unser Punkt A die Koordinaten A(7 | -18) hat.

Nun müssen wir die Koordinaten des Punktes B errechen, wobei wir nur B(x | -10) gegeben haben.

Da wir den y-Wert wissen, müssen wir nach x auflösen.

$-10\ =\ \left(x-8\right)^{^2}-19$

2. Binomische Formel anwenden

$\left(a-b\right)^{^2}=a^{^2}-2ab+b^{^2}$

$-10\ =\ x^{^2}-2\cdot x\cdot8+8^{^2}-19$

$-10\ =\ x^{^2}-16x\ +\ 64\ -\ 19$

$-10\ =\ x^{^2}-16x\ +\ 45$

Addition von 10

$0\ =\ x^{^2}-16x+55$

Nun können wir die x-Werte mithilfe der PQ-Formel ermitteln, da die Gleichung in der folgenden Form vorliegt:

$0\ =\ x^{^2}+px\ +q$

Hierfür gilt dann die PQ-Formel für die Bestimmung der Nullstellen:

$x1,2\ =\ -\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{^2}-q}$

Nun müssen wir nur noch unsere Werte einsetzen, damit wir unsere Ergebnisse erhalten.

$x1\ =\ -\frac{-16}{2}+\sqrt{\left(\frac{16}{2}\right)^{^2}-55}$ $x1\ =\ 11$ $x2\ =\ -\frac{-16}{2}-\sqrt{\left(\frac{16}{2}\right)^{^2}-55}$ $x2\ =\ 5$

Also haben wir zwei Punkte mit dem y-Wert -10: B1(11 | -10) und B2(5 | -10).

Damit wir das Ganze nochmals graphisch überprüfen können und uns überhaupt bewusst wird, wie der dazugehörige Graph aussehen würde, habe ich hier noch einmal ein Bild des Graphen:

~Johannes

Comments

[Kasuke]

Hey auf den ersten schritt wie man y raus bekommt bin ich eben auch gekommen. Du hast das super gezeigt, ich verstehe nur leider nixht wie das mit der 2 Binomischen Formel funktioniert.

[realJackboyPlay]

@Kasuke

Prinzipiell können wir unsere Funktion so darstellen: y = (x-8)^2 -19

Für y haben wir -10 gegeben, weswegen unsere Gleichung -10 = (x-8)^2 - 19 lauten muss.

Die binomische Formel gibt nur an, wie die Klammer (x-8)^2 ausmultipliziert lauten müsste.

Also im Prinzip (x-8)*(x-8) = x^2-8x-8x+64 = x^2-16x+64

~Johannes.

[Kasuke]

@realJackboyPlay

VIELEN DANK!🔥 Damit besteh ich die BLF👍🏽

[realJackboyPlay]

@Kasuke

Was ist eine BLF?

~Johannes

[Kasuke]

@realJackboyPlay

Besondere Leistungs Feststellung gibts nur bei uns...😂

Noch eine Frage bei der pq Formel wieso steht unter dem Bruch (16/2)^2 und nicht (-16/2)^2

[realJackboyPlay]

@Kasuke

Dort kann man getrost das - weglassen, da negative Zahlen im Quadrat gleich der positiven Zahlen im Quadrat sind.

-8^2 = 8^2

Wenn ich als - - geschrieben habe, kann man auch einfach + machen.

Hab es nur der Ausführlichkeit halber gemacht.

~Johannes

Answer 2

[Sophonisbe]

Wie komme ich rechnerisch darauf?

Klingt nach einer verschobenen Normalparabel.

Scheitelpunktform, Werte einsetzen, umstellen, ablesen, fertig.

Answer 3

[RIDDICC]

1. also ist die Formel f(x)=a·x²+b·x+c
2. und du kennst einen Punkt auf der Parabel (nämlich f(8)=-19)
3. und du weißt, dass dieser Punkt der Scheitelpunkt ist...
4. oda?
5. dafür gibt es die Scheitelpunktsform: f(x)=a·(x-d)²+e mit d=8 und e=-19
6. aber was ist a? vllt a=1? soll die Normalparabel also quasi nur verschoben sein?
7. https://de.serlo.org/mathe/funktionen/wichtige-funktionstypen-ihre-eigenschaften/quadratische-funktionen-parabeln/funktionsterm-quadratischen-funktion/allgemeine-form-scheitelform-quadratischen-funktion

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung

Comments

[Kasuke]

Ich soll einfach die fehlenden Punkte berechnen.

[RIDDICC]

@Kasuke

1. LOL
2. ey! nochmal: ist s ne verschobene Normalparabel? oder nich?

[Kasuke]

@RIDDICC

ja

[RIDDICC]

@Kasuke

1. dann ist also a=1
2. f(x)=(x-8)²-19
3. einsetzen + fertig