Wie kann man den Scheitelpunkt einer Parabel aus 2 Punkten berechnen?
Hallo, ich bin gerade dabei auch eine Mathe Arbeit zu lernen und verzweifel an einer Aufgabe.
Eine nach oben geöffnete Normalparabel geht durch den Punkt A(5/4) und B(1/-4) Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes S.
Bitte die Zwischenschritte auch mit schreiben, so kann ich es besser nachvollziehen.
Danke :)
4 Antworten
9. Klasse heißt: Lösung ohne Ableitung,
sondern die Scheitelpunktform soll herauskommen.
Außerdem soll es eine Normalparabel sein, also nichts vor x² stehen haben. Sie ist nach oben geöffnet, also kein Minus vorneweg. Wenn du dir eine verschobene Normalparabel anguckst, sieht sie z.B. so aus:
y = 2x² - 3x + 4 allgemein y = x² + px + q
Das kann man auch vertauschen, dann sieht es eher so aus wie die bekannten Gleichungen mit 2 Unbekannten:
x² + px + q = y
Da sind genau 2 Unbekannte drin, p und q, die man mit 2 Gleichungen ausrechnen kann, wie du gelernt haben müsstest.
Die Punkte A und B liefern dir erst mal die x und y.
A(x=5 | y=4) und B(x=1 | y=-4)
Das setzt du in deine allgemeine Gleichung ein. Es ergibt 2 Gleichungen.
I 25 + 5p + q = 4 | -25
II 1 + p + q = -4 | -1
I 5p + q = -21
II p + q = -5
Ich verwende das Additionsverfahren:
I - II 4p = -16 | /4
p = -4 | in II einsetzen
Damit q = -1
Und die Gleichung heißt: y = x² - 4x - 1
Noch schnell die quadratische Ergänzung für den Scheitelpunkt.
y = (x² - 4x + 2²) - 4 - 1
y = (x - 2)² - 5 Scheitelpunkt S(2|-5)
So mitten in der Nacht mal die komplette Lösung.
(Ich weiß nicht, was manche so gemacht haben.)
Man braucht für jede Unbekannte eine Formel,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.
Die 2 punkte liefern 2 Gleichungen und weil die Parabel nach oben geöffnet ist ,ist a> 0
Normalform der Parabel y=f(x)= a * x^2 + c alle diese Parabeln haben den Scheitelpunkt auf der y-Achse mit x=0
nun die 2 Formeln aus den Punkten
1. 4= a * 5^2 + c ergibt c= 4 - a * 5^2 eingesetzt in 2.
2.- 4= a *1^2 + c ergibt - 4= a * 1^2 + 4 - a * 5^2 umgestellt nach a
- 4=a *( 1^2 - 5^2) + 4 ergibt a= - 8/ - 24 = 0,333...
in 1. eingesetzt ergibt c= - 4,325
Formel lautet y=f(x)= 0,333.. * x^2 - 4,325
Scheitel liegt auf der y- Achse bei x=0 und y= - 4,325
Hinweis : Die selbe Rechnung hätte man auch mit der Scheitelpunktform durchführen können. y=f(x)= a * (x +b) + c mit a=1 hat man dann wiederum 2 Gleichungen mit 2 Unbekannte ,hier dann b und C
Es gibt also mehrere Lösungswege für diese Aufgabe.
Zuerst würde ich die Funktion bestimmen
Grundfunktion: f(x)=x^2+c
Einsetzen von 1/-4
-4=1^2+c
Umstellen
-5=c
Ableitung = 0
2x=0
X=0
Scheitelpunkt ist 0/f(0)
Gegentest nicht vergessen: f(x)=x^2-5
Einsetzen von A(5|4): 5^2-5 = 25-5 = 20 =/= 4
weil es eine Normalp. ist, hast du y=x²+bx+c
jetzt setzt du die beiden Punkte ein und berechnest b und c
dann in Scheitelform bringen.
So mitten in der Nacht gearbeitet !! Dafür bekommst du von mir ein "Danke" und 3 "Gummipunkte",weil ich "Goldfasan" bin .