Frage von C4711C, 132

Scheitelpunkt einer Parabel mit 2 Punkten berechnen?

Hallo, ich bin gerade dabei auch eine Mathe Arbeit zu lernen und verzweifel an einer Aufgabe.

Eine nach oben geöffnete Normalparabel geht durch den Punkt A(5/4) und B(1/-4) Berechne die Koordinaten des Scheitelpunktes S.

Bitte die Zwischenschritte auch mit schriebn, so kann ich es besser nachvollziehen.

Danke :)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Volens, Community-Experte für Mathe & Schule, 107

9. Klasse heißt: Lösung ohne Ableitung,
sondern die Scheitelpunktform soll herauskommen.
Außerdem soll es eine Normalparabel sein, also nichts vor x² stehen haben. Sie ist nach oben geöffnet, also kein Minus vorneweg. Wenn du dir eine verschobene Normalparabel anguckst, sieht sie z.B. so aus:
y = 2x² - 3x + 4            allgemein y = x² + px + q
Das kann man auch vertauschen, dann sieht es eher so aus wie die bekannten Gleichungen mit 2 Unbekannten:
                                                       x² + px + q = y

Da sind genau 2 Unbekannte drin, p und q, die man mit 2 Gleichungen ausrechnen kann, wie du gelernt haben müsstest.
Die Punkte A und B liefern dir erst mal die x und y.
A(x=5 | y=4) und B(x=1 | y=-4)
Das setzt du in deine allgemeine Gleichung ein. Es ergibt 2 Gleichungen.

I    25 + 5p + q =   4   | -25
II    1  +   p + q = -4   | -1

I            5p + q = -21
II             p + q = -5

Ich verwende das Additionsverfahren:

I - II       4p      = -16    | /4
               p      =  -4     | in II einsetzen
Damit       q      =  -1

Und die Gleichung heißt:    y = x² - 4x - 1

Noch schnell die quadratische Ergänzung für den Scheitelpunkt.

y = (x² - 4x + 2²) - 4 - 1
y = (x - 2)² - 5                     Scheitelpunkt S(2|-5)

So mitten in der Nacht mal die komplette Lösung.
(Ich weiß nicht, was manche so gemacht haben.)

Kommentar von fjf100 ,

So mitten in der Nacht gearbeitet !! Dafür bekommst du von mir ein "Danke" und 3 "Gummipunkte",weil ich "Goldfasan" bin .

Kommentar von C4711C ,

Dankeschön :) jetzt hab ich verstanden :) na und wie jemand auf S(0/0) kommen konnte, konnte ich sogar nicht navhvolziehen bevor ichs verstanden hab.

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 46

Man braucht für jede Unbekannte eine Formel,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.

Die 2 punkte liefern 2 Gleichungen und weil die Parabel nach oben geöffnet ist ,ist a> 0

Normalform der Parabel y=f(x)= a * x^2 + c alle diese Parabeln haben den Scheitelpunkt auf der y-Achse mit x=0

nun die 2 Formeln aus den Punkten

1. 4= a * 5^2 + c ergibt c= 4 - a * 5^2 eingesetzt in 2.

2.- 4= a *1^2 + c ergibt - 4= a * 1^2 + 4 - a * 5^2 umgestellt nach a

- 4=a *( 1^2 - 5^2) + 4 ergibt a= - 8/ - 24 = 0,333...

in 1. eingesetzt ergibt c= - 4,325

Formel lautet y=f(x)= 0,333.. * x^2 - 4,325

Scheitel liegt auf der y- Achse bei x=0 und y= - 4,325

Hinweis : Die selbe Rechnung hätte man auch mit der Scheitelpunktform durchführen können. y=f(x)= a * (x +b) + c mit a=1 hat man dann wiederum 2 Gleichungen mit 2 Unbekannte ,hier dann b und C

Es gibt also mehrere Lösungswege für diese Aufgabe.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 59

weil es eine Normalp. ist, hast du y=x²+bx+c

jetzt setzt du die beiden Punkte ein und berechnest b und c

dann in Scheitelform bringen.

Antwort
von ThePaulCrafter, 77

Zuerst würde ich die Funktion bestimmen
Grundfunktion: f(x)=x^2+c
Einsetzen von 1/-4
-4=1^2+c
Umstellen
-5=c
Ableitung = 0

2x=0
X=0

Scheitelpunkt ist 0/f(0)

Kommentar von Computator ,

Gegentest nicht vergessen: f(x)=x^2-5
Einsetzen von A(5|4): 5^2-5 = 25-5 = 20 =/= 4

Antwort
von redfire59, 65

In welcher Klasse bist du?

Kommentar von C4711C ,

Was tut das denn zur Sache ?

Kommentar von redfire59 ,

Weil es mehrere Wege gibt das zu lösen und ich sollte vielleicht einfach wissen auf welchem Niveau du gerade bist und was du schon kannst um dir zu helfen!

Kommentar von C4711C ,

In der 9ten

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