Parabel Funktionsgleichung aus Scheitelpunkt und Nullstellen berechnen?
Hey, kann man die Funktionsgleichung einer Parabel aus dem Scheitelpunkt und den Nullstellen berechnen? Wenn ja, wie? Schonmal danke im voraus ^^
6 Antworten
Ja man kann. Es muss nicht einmal der Scheitel gegeben sein, sondern neben den beiden Nullstellen genügt auch ein anderer Punkt.
Allgemein:
Gegeben sind die Nullstellen n1 und n2
dann gilt: f(x)=a*(x-n1)*(x-n2) bzw. y=a*(x-n1)*(x-n2)
wegen dem Satz vom Nullprodukt und f(x) = 0 für die Nullstellen.
Danach setzt man die Scheitelkoordinaten in die so erhaltene Gleichung ein und bestimmt damit a.
Falls es die Aufgabenstellung erfordert, löst man noch die Klammern bei
f(x)=a*(x-n1)*(x-n2) auf, damit die Gleichung die Form f(x) =ax² +bx + c erhält.
Beispiel mit Werten:
A(-2/0) und B(1,5/0)
enthalten die beiden Nullstellen n1=-2 und n2=3
Ferner gibt es den Scheitel S (0,5/-25)
y= a*(x-n1)*(x-n2)
y = a(x+2)(x-3) bei n1 beachten -(-2)=+2
Scheitel S (0,5/-25) einsetzen, also x=0,5 und y=-25
y = a*(x+2)*(x-3)
-25 = a*(0,5+2)*(0,5-3)
-25 = a*2,5*(-2,5)
-25 = a*(-6,25) |:(-6,25)
a = 4
y = 4(x+2)(x-3)
f(x) = 4(x+2)(x-3)
Falls nur eine Gleichung von f(x) verlangt war, bist du fertig.
Falls die Gleichung in der Form f(x) =ax² +bx + c verlangt war, oder du sogar a, b und c angeben sollst musst du 4(x+2)(x-3) ausmultiplizieren, dann kannst du auch b und c ablesen.
4(x+2)(x-3) = 4(x² -x -6) = 4x² -4x -24
f(x) = 4x² -4x -24
daraus kann man leicht b und c ablesen (a hatte man schon):
a = 4
b = -4
c = -24
Dieser Weg geht für Nullstellen und jeden bliebigen weiteren Punkt der Parabel. Beim Scheitel gibt es noch als speziellen Fall die Scheitelform der Parabel f(x)=a(x-d)² + e und der Scheitel hat dann S (d/e)
@ gilgamesch4711: Textverständnis ist nicht so dein Fall und ich glaube nicht, dass der Fragesteller deine Einwände verstehen kann, weil er vermutlich in Klasse 9 Gymnasium oder Klasse 10 Realschule geht. Verwirren wollte ich ihn nicht, dir ist das sicherlich gelungen.
Es ist erstens laut Fragesteller eine Parabel = gemischtquadratische Funktion = Polynom 2. Grades und kein beliebiges Polynom n-ten Grades.
Es gibt bei einer Parabel maximal zwei Nullstellen und diese sind laut Frage gegeben. Und ich habe nie gesagt, dass kein dritter Punkt notwendig ist, sondern dass bei dem von mir gezeigten Weg über die Nullstellen der dritte Punkt nicht der Scheitel sein muss.
Falls der Scheitel S(d/e) gegeben ist, genügt bei gemischtquadratischen Funktionen (Parabeln) übrigens ein einziger weiterer beliebiger Punkt zur Bestimmung der Funktionsgleichung aus der Scheitelform f(x)=a(x-d)² +e .
Hallo Prinrx!
Ja, das kannst du.
Das geht am besten mit einem linearen Gleichungssystem (LGS).
Das ganze nennt man am Ende immer Steckbriefaufgabe. Das Thema selbst kommt aber eigentlich erst in der Oberstufe, wenn man ganzrationale Funktionen ab dem 3. Grad aufwärts behandelt.
Ich mache mal ein Beispiel.
Aufgabe:
Eine quadratische Funktion hat den Scheitelpunkt bei S(0|4) und die Nullstellen x1 = -2 und x2= 2.
● ● ● Schritt 1: Aufgabenstellung in mathematische Bedingungen umwandeln ● ● ●
Das machst du nun Schritt für Schritt:
Eine quadratische Funktion
Hier ist schon der erste Halt.
Dabei musst du immer die allgemeine Form aufschreiben. Hierbei ist es folgende:
f(x) = ax² + bx + c
Das heißt, wir haben 3 Unbekannte (a,b und c), die wir nun mit dem LGS berechnen / bestimmen wollen. Deswegen brauchen wir (bisher) auch mindestens 3 Funktionen für das LGS.
Weiter gehts:
Scheitelpunkt bei S(0|4)
Mathematisch als Bedingung bzw. Gleichung schreibst du es so:
f(0) = 4
Das musst du nun auch einsetzen und ausrechnen, denn damit stellst du am Ende dein LGS auf.
Setzen wir also in die allgemeine Form ein:
f(x) = ax² + bx + c
f(0) = a*0² + b*0 + c
4 = c
Damit haben wir bereits die Unbekannte c herausgefunden!
c = 4
Damit brauchen wir nun auch nur noch 2 Funktionen bzw. ist das hier ja schon die eine Gleichung.
Nullstellen x1 = -2 und x2= 2.
f(2) = 0
f(2) = a*2² + b*2 + 4
I. 0 = 4a + 2b + 4
Das ist nun unsere I. Funktion / Gleichung!
f(-2) = 0
f(2) = a*(-2)² + b*(-2) + 4
II. 0 = 4a - 2b + 4
Das ist unsere II. Funktion / Gleichung.
Das reicht auch schon und damit stellen wir nun folgendes LGS auf:
I. 0 = 4a + 2b + 4
II. 0 = 4a - 2b + 4
Dieses LGS müssen wir nun mit einem der folgenden Verfahren lösen:
- Additionsverfahren
- Einsetzungsverfahren
- Gleichsetzungsverfahren
- Gauß-Algorithmus
Alternativ kannst du es auch in den Taschenrechner eingeben.
I. 0 = 4a + 2b + 4
II. 0 = 4a - 2b + 4
Jetzt wenden wir das Einsetzungsverfahren an, um die Unbekannten zu berechnen.
Dazu stellen wir eine beliebige Funktion nun zu einer beliebigen Variable um.
Wir nehmen mal die 2. Funktion und stellen diese nach a um:
4a - 2b + 4 = 0
4a + 2b + 4 = 0 | -4a
2b + 4 = -4a |-4
2b = -4a - 4 |:2
b = -2a - 2
Das setzen wir nun in die 2. Funktion / Gleichung ein:
4a - 2b + 4 = 0
4a - 2*(-2a - 2) + 4 = 0
4a - 2*(-2a) - 2*(-2) + 4 = 0
4a + 4a + 4 + 4 = 0
8a + 8 = 0 |-8
8a = -8 |:8
a = -1
Diesen Wert setzen wir jetzt in die im 1. Schritt umgestellte Gleichung ein:
b = -2a - 2
b = -2*(-1) - 2
b = 2 - 2
b = 0
Damit haben wir nun alle 3 Unbekannten berechnet:
a = -1
b = 0
c = 4
Diese müssen wir nun in die allgemeine Form der quadratischen Funktion wieder einsetzen:
f(x) = ax² + bx + c
► ► ► f(x) = -x² + 4
Das ist nun die endgültige Funktion, die in der Aufgabe gesucht war.
Im Bild siehst du diese Funktion nochmal und kannst erkennen, dass die Eigenschaften mit den Nullstellen und dem Scheitelpunkt stimmen.
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Bei Fragen einfach melden! :)
Liebe Grüße
TechnikSpezi
Du hast glatt die Problematik verpennt, weil die Aufgabe unklar gestellt ist. Für eine Parabel brauchst du genau drei Bestimmungsstücke. Du hast aber vier.
f ( + 2 ) = 0 ( 1a )
f ( - 2 ) = 0 ( 1b )
f ( 0 ) = 4 ( 2a )
f ' ( 0 ) = 0 ( 2b )
Erst ( 2b ) bewirkt, dass das auch der Scheitelpunkt ist. Im Übrigen bist du ein Falschspieler; dir scheint nämlich bekannt zu sein, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Knoten liegt.
Da hast du zwar recht, aber darum ging es hierbei doch gar nicht.
Ich habe einfach nur ein Beispiel gemacht, wie man solche Aufgaben lösen kann und dazu eine Beispielaufgabe gestellt. Ob jetzt eine Information zu viel ist, ändert daran doch nicht viel.
Ich war auch kurz davor etwas mit achsensymmetrie einzubauen usw, aber das hätte alles nur noch komplizierter gemacht und das ist hier kein Stück hilfreicher.
Im Übrigen bist du ein Falschspieler; dir scheint nämlich bekannt zu sein, dass der Scheitel genau in der Mitte zwischen den Knoten liegt.
Stimmt, ich weiß, dass der Scheitelpunkt genau in der Mitte von den Nullstellen liegt. Ich bin im Mathematik Leistungskurs in der Qualifikationsphase auf dem Gymnasium und gebe aktuell 2 Schülern Nachhilfe, die genau das Thema der quadratischen Funktionen gerade abschließen. Keine Sorge, ich weiß, wovon ich rede! ;)
Was auch immer du jetzt mit "Falschspieler" meinst?!
Wenn du den Scheitelpunkt gegeben hast, kannst du die Scheitelpunktform der Parabelgleichung aufstellen:
f(x) = a(x - d)² + e mit Scheitelpunkt bei (d | e).
Dann fehlt dir noch der Öffnungsfaktor, den du durch Einsetzen eines Punktes (in dem Falle einer Nullstelle) berechnen kannst.
Bei Fragen einfach fragen. :)
LG Willibergi
Schade dass du kein konkretes Zahlenbeispiel hast; da könnte ich es dir viel anschaulicher erklären. Ich arbeite nämlich immer mit schweinischen Tricks.
Gegeben die Nullstelle x1 so wie der Scheitel. Ihr alle wisst, dass der Scheitel symmetrisch in der Mitte liegt zwischen den beiden Nulldurchgängen:
x0 = 1/2 ( x1 + x2 ) ( 1a )
x2 = 2 x0 - x1 ( 1b )
Siehst du, was du damit gewinnst, wenn du dir x2 besorgst? Wir können die Parabel in Linearfaktoren zerlegen
f ( x ) = k ( x - x1 ) ( x - x2 ) ( 2a )
Den ===> Leitkoeffizienten k bekommst du, weil du ja y0 kennst.
k ( x0 - x1 ) ( x0 - x2 ) = y0 ( 2b )
Alternativ gehst du direkt über die Scheitelpunktsform
f ( x ) = k ( x - x0 ) ² + y0 ( 3a )
Dann findest du k über die Beziehung
k ( x1 - x0 ) ² + y0 = 0 ( 3b )
Hallo,
natürlich.
Die Scheitelpunktform einer Parabel lautet:
f(x)=a*(x-d)²+e
Du setzt einfach die Koordinaten des Scheitelpunktes (d|e) ein.
Um a zu berechnen, nimmst Du dann noch eine der beiden Nullstellen, setzt sie in die Gleichung ein und löst nach a auf.
Alternative:
f(x)=a*(x-Nullstelle 1)*(x-Nullstelle 2)
Danach den Scheitelpunkt einsetzen und a berechnen.
Beispiel:
Nullstellen bei x=-1 und x=5
Scheitelpunkt (2|3)
Lösung über Scheitelpunktform:
f(x)=a*(x-2)²+3
Einsetzen einer Nullstelle, z.B. (5|0):
0=a*(5-2)²+3=9a+3
9a=-3
a=-1/3
f(x)=(-1/3)*(x-2)²+3=(-1/3)*(x²-4x+4)+3
=(-1/3)x²+(4/3)x-4/3+3=(-1/3)x²+(4/3)x+5/3
Lösung über Nullstellen:
f(x)=a*(x+1)*(x-5)=a*(x²-4x-5)
Einsetzen des Scheitelpunktes:
3=a*(2²-4*2-5)=-9a
-9a=3
a=-1/3
Herzliche Grüße,
Willy.
Wenn der Scheitelpunkt gegeben ist, reicht übrigens die Kenntnis einer Nullstelle. Eine Parabel ist immer achsensymmetrisch bezüglich der Senkrechte durch den Scheitelpunkt.
Liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes etwa bei x=4 und eine Nullstelle bei x=6, also bei 4+2, dann liegt die andere Nullstelle bei x=2, also bei 4-2.
Willy
Ein Polynom n-ten Grades ist eindeutig durch einen Slalom von ( n+ 1 ) Punkten fest gelegt ( Existenz und Eindeutigkeit ) ===> Lagrangepolynome. Für eine Parabel brauchst du demnach drei Punkte; die Aussage " Scheitel " ist überflüssig. Das wäre nämlich eine vierte Zusatzbedingung an die Ableitung. Wenn du mit dem Scheitel was machen willst, muss die Aufgabe ganz anders gestellt sein.