Mathe?

Wie soll man Koordinaten eines Scheitelpunktes berechnen, ohne eine Parabel zu zeichnen?

Beispiel: y=8x²

Answer 1

[LindorNuss]

Die kannst Du hier ablesen. Das x² steht alleine (keine Klammer) und hinter dem x² kommt nichts mehr (das wäre die Verschiebung nach oben oder unten) Daher: S (0|0)

Comments

[ThienViet]

Kannst du mir das genauer erklären? Ich verstehe kaum, was das gemeint ist. Ich weiß nur, dass hinten ein + 0 ist. Die Höhe wäre 0. Die Länge verstehe ich aber gar nicht.

Answer 2

[clemensw]

Wen Du einmal verstanden hast, wie sich die 3 Parameter a, b und c auf die Form und Lage der Parabel auswirken, ist alles ziemlich einfach.

Also tief durchatmen und los gehts:

Eine quadratische Funktion hat immer die Form:

$f\left(x\right)\ =\ ax^2\ +\ bx\ +c$ wobei a, b und c beliebige Zahlen sein können.

Betrachten wir zuerst nur a (so wie in deinem Beispiel f(x)=8x²). Dazu nehmen wir am besten einen Funktionsplotter, der mehrere Graphen nebeneinander darstellen kann, zB https://www.mathe-fa.de .

Hier mal die Graphen für a=1 | 0,5 | 2

Wie Du siehst, verändert a nur die Form der Parabel (für a>1 wird die Parabel schmäler, für a<1 breiter), aber nicht den Scheitelpunkt - der ist immer (0|0)

In deinem Beispiel wäre also der Scheitelpunkt auch bei (0|0)

Betrachten wir als nächstes den Parameter c: Dessen Auswirkungen sind auch sehr einfach erkennbar - der Graph wird nur nach oben oder unten verschoben!

Als Beispiel jetzt c = +1 | 0 | -1

Auch hier lässt sich der Scheitelpunkt direkt aus der Gleichung ablesen, zB

$f\left(x\right)=x^2+8$ dann kann man direkt sagen: Scheitelpunkt ist (0|8).

Die Königsklasse ist der Parameter b, denn der kommt schräg...

b = +2 | 0 | -2

Ein positives b schiebt die Parabel nach links unten, ein negatives nach rechts unten - also wie komm ich denn jetzt an den Scheitelpunkt?

Das kann man berechnen - mit der Scheitelpunktform! Also aus:

$f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ machen wir jetzt die sogenannte Scheitelpunktform, also

$f\left(x\right)=a\left(x-d\right)^2+e$ Dazu benötigen wir 2 Hilfsmittel

a) die 1. und 2. binomische Formel

$1.\ Binom\ \left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$ $2.\ Binom\ \left(a-b\right)^2\ =a^2-2ab+b^2$ b) Quadratische Ergänzung

Aus dem letzten Bild nehmen wir zB den Graphen h(x)

$h\left(x\right)=x^2-2x$ Vergleicht man diesen Term mit der 2. binomischen Formel oben und ersetzt a durch x und b durch 1, dann fällt eine gewisse Ähnlichkeit auf.
$2.\ Binom\ \left(x-b\right)^2\ =\ x^2-2\cdot x\cdot1+1^2\ =\ x^2-2x+1$ Wir haben aber weiter oben gelernt, dass der dritte Parameter c den Graphen nur nach oben und unten verschiebt. Und wir wissen auch, dass +1-1 = 0 ist.

Daher kann man h(x) auch so schreiben:

$h\left(x\right)=x^2-2x+1-1$ Das nennt man quadratische Ergänzung, denn jetzt kann man die Funktion etwas anders zusammen fassen:

$h\left(x\right)=x^2-2x+1-1=\left(x^2-2x+1\right)-1=\left(x-1\right)^2-1$ $h\left(x\right)=\left(x-1\right)^2-1$ Zur Erinnerung: Scheitelpunktform war:

$f\left(x\right)=a\left(x-d\right)^2+e$ also ist a=1 (also Normparabel, weder schmal noch breit) und aus d=1 und e= -1 bilden wir den Punkt S(1|-1).

Und jetzt schau mal, wo der Scheitelpunkt der grünen Parabel im letzten Bild liegt...

TADAAA!!!

Answer 3

[wop53]

Hallo,

bei y=8x² ist es ganz einfach, da der Scheitelpunkt wie bei der Normalparabel bei (0|0) liegt.

Bei y=8x²-5 zum Beispiel wird der Scheitelpunkt um 5 nach unten verschoben und liegt bei (0|-5).

Wenn noch ein Term mit x addiert wird, hilft die Scheitelpunkt-Form.

🤓