Wie forme ich den Funktionterm in die Scheitelpunktform um?
Ich brauche hilfe in mathe. Die aufgabe ist forme den Funktionsterm um in die Scheitelpunktform a(x-d)² +e. Notiere dann die koordinaten des scheitelpunktes. Ist die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet? a) f (x)= - 2x ²+ 6x-2,5
Wie soll das gehen kann mor jemand die Lösungen von a) sagen damit ich die anderen Aufgaben selber rechnen kann oder kann mir das jemand erklären?
3 Antworten
Hallo,
ich rechne Dir die Aufgabe mal vor:
Zunächst mußt Du den Faktor vor dem x² ausklammern:
f(x)=-2*(x²-3x+1,25).
Nun brauchst Du die quadratische Ergänzung. Dazu halbierst Du den Faktor vor dem x und quadrierst ihn anschließend: -3:2=-3/2; (-3/2)²=9/4 oder 2,25 Die Zahl, mit der Du die Gleichung ergänzt hast, mußt Du anschließend natürlich wieder subtrahieren, sonst würde die Gleichung ja nicht mehr stimmen:
f(x)=-2*(x²-3x+9/4-9/4+1,25)
Nun betrachte die ersten drei Glieder in der Klammer: x²-3x+9/4.
Die kannst Du - das war der Sinn der quadratischen Ergänzung - nach der zweiten binomischen Formel umwandeln in (x-3/2)².
Nun lautet die Gleichung:
f(x)=-2*[(x-3/2)²-1] (Die -1 ist aus -9/4+1,25 entstanden.)
Nun lösen wir die eckigen Klammern auf:
f(x)=-2*(x-3/2)²+2 (Die 2 ist entstanden aus (-2)*(-1))
Jetzt hast Du die Scheitelpunktsform der Parabel. Der x-Wert des Scheitelpunktes ist die Zahl in der Klammer mit umgekehrtem Vorzeichen, also 3/2, der y-Wert ist die letzte Zahl, nämlich 2.
Die Koordinaten des Scheitelpunktes lauten also (1,5|2)
Das bekämst Du auch auf andere Weise heraus, wenn Du die Ableitung der Funktion auf Null setzen würdest und den gefundenen x-Wert wieder in die Funktion einsetzen würdest:
f'(x)=-4x+6 mit der Nullstelle bei x=1,5.
f(1,5)=-4,5+9-2,5=2
Also käme auch bei dieser Art der Berechnung - wie nicht anders zu erwarten - als Scheitelpunkt (1,5|2) heraus.
Herzliche Grüße,
Willy
allgemeine Form der Parabel y=f(x)=a2 *x^2 +a1 *x +ao
a2 > 0 Parabel ist nach oben geöfnet
a2<0 Parabel ist nach unten geöfnet
Die Scheitelpunktform erhält man durch die quadratische Ergänzung
y=a2 *(x +d)^2 + e
e verschiebt die Funktion nach oben oder nach unten
d < 0 Parabel ist nach rechts verschoben
d> 0 Parabel ist nach links verschoben
Beispiel y=3x^2 - 12x +13 ergibt y=3 *(x^2 -4 *x) +3*4 -3*4 +13
quadratische Ergänzung y=3 *(x^2 - 4 *x +4) - 12 +13 ergibt
y=3 *(x -2)^2 +1
binomische Formel (a - b)^2 =a^2 - 2*a*b + b^2
im Beispiel ist 2 *a *b=4 *x und b^2 = 4
Du musst die quadratische Ergänzung anwenden, nachdem du -2 ausgeklammert hast: f(x) = -2(x²-3x) - 2,5
an dem - bei -2x² kannst du erkennen, dass die Parabel nach unten geöffnet ist.
Gleiches Prinzip: -3x²-6x+9) = -3(x²+2x) + 9
Dann quadratische Ergänzung für binomische Formel: = -3( (x+1)²-1) + 9
danke♡ und bei f (x)= -3x ²-6x+9??