Newton verfahren cos(x)=x^2?
Hi ich habe diese aufgabe das newton verfahren selber ist nicht das problem
also erstmal meine aufgabe
Lösen Sie die Gleichung cos(x) =x^2 mittels des Newton-Verfahren
also muss ich nun x^2 abziehen also x2=x1-((cos(x)-x^2)/(sin(x)-2x)) oder weils ja das gleiche ist x2=x1-(x^2/x) teilen ?
4 Antworten
Der erste Term für x2 ist richtig (bis auf den meist fehlenden Index 1 am x).
Aber was meinst du mit "das gleiche ist"? Der zweite Term für x2 ist etwas ziemlich anderes.
Mit dem Iterationsrechner Beispiel 118 ist es ganz einfach:
http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#ZZZZZ0118
einfach Funktion eingeben, die 0 werden soll
also x*x-cos(x) oder pow(x,2)-cos(x) oder Vertauscht {da bei 0 das Vorzeichen egal}
Startwert 1 sollte reichen siehe Bild
Nach 4 Schritten (Iterationen) hat man 15 richtige Nachkommastellen
Hinweise:
die Ableitung von cos(x)-x² ist -sin(x)-2*x
und statt 3 unterschiedliche Variablen für x zu verwenden, besser Index-Schreibweise:
x[n+1]=x[n]-((cos(x[n])-x[n]²)/(-sin(x[n])-2*x[n]))
per Iterationsrechner könnte man auch schreiben:
Init: aB[0]=1;
Formel: aB[i+1]=aB[i]-((cos(aB[i])-pow(aB[i],2))/(-sin(aB[i])-2*aB[i]));
Abbruch: i>4
kommt das gleiche Ergebnis raus.
Startwert -1 ergibt den gleichen Weg nur im negativen, da sie Null-Funktion symmetrisch ist (an y-Achse gespiegelt).
Tangentenverfahren nach Newton x2=x1-f(x1)/f´(x1)
x1 ist ein Schätzwert,den man durch ausprobieren erhält.x1 liegt nahe an der Nullstelle.
Man setzt x1 in die Formel ein und erhält dann den verbesserten x2 Wert,der noch näher an der Nullstelle liegt.
Das Verfahren wiederholt man so lange,bist die Genauigkeit ausreicht.
f(x)=cos(x) -x^2 Nullstellen bei x1=- 0,824.. und x2=0,824...
hab ich mit meinen Graphikrechner (Casio) ermittelt.
Fang mit den Startwert x1= 0,7 an, also f(0,7)=cos(0,7) - 0,7^2
f´(x)= sin(x) - 2*x f´(0,7)=sin(0,7) - 2*0,7
x2=0,7 - (cos(0,7)- 0,7^2)/(sin(0,7) - 2*0,7))
TIPP : Besorge dir privat auch einen GTR ,dann siehst du sofort,wie der "Hase" läuft. Ohne solch ein Ding,sonst kannst´e gleich einpacken.
Ich habe einen GTR (Casio),CFX-9850GC Plus. Damit habe ich ja die Aufgabe gerechnet.Alleine das Handbuch hat 450 Seiten.
1.Schritt: Ich habe die Formel eingegeben
2.Schritt: Ich habe den Knopp "EXE" gedrückt
3. Schritt : Ich habe mit der Funktion "trace" den Graphen abgefahren und dabei die beiden Stellen ermittelt.
Der Graph wurde dabei auf den Display angezeigt und ich sah sofort,dass da 2 Stellen mit y=0,9 sind. Da brauchte ich nicht einmal rechnen.
HINWEIS : Ein "Smartphone" kostet 200 Euro und mehr und man bezahlt für jedes Byte,was man herrunterläd,auch für die Werbung,die man nicht braucht.
Mein GTR hat vor 12 Jahren 80 Euro gekostet und hat sich noch nie verrechnet.
Ich hasse "Smartphones",weil viel zu teuer.
Du betrachtest die Funktion f(x)=cos(x)-x^2.
Nun wählst du dir einen geschickten Startwert x_1 und iterierst das ganze.
Deinen Quotienten schreibst du schlampig hin. Ich verstehe nicht, was genau nun dein Problem ist, wenn das Newton-Verfahren an sich nicht das Problem ist.
Setze ein paar Werte in deine Funktion ein. Suche einen Vorzeichenwechsel. In dem Intervall liegt dann eine Nullstelle. Je näher du die Nullstelle "erahnst", desto besser. Hier muss man auch aufpassen, da aus Symmetriegründen die Gleichung zwei Lösungen hat.
Ad "Besorge dir privat auch einen GTR": Da du vermutlich ein Smartphone hast - es gibt jede Menge Apps, die das können: zB Mathlabcalc, Mathematics (für Android; mit Apple kenn ich mich nicht aus)