Kann mir jemand diese Kombinatorik Aufgabe erklären?
Wie viele Lösungen (x1,x2,x3,x4,) hat die Gleichung x1+x2+x3+x4=17, wenn x 0 oder mehr ist?
danke für die Antwort
2 Antworten
Du suchst also die Anzahl der Möglichkeiten, n = 17 nichtunterscheidbare Objekte auf k = 4 unterscheidbare Behälter aufzuteilen, sodass kein Objekt übrig bleibt.
Zur einfacheren Veranschaulichung wähle ich kleinere Zahlen n = 5 und k = 3.
Für das Verständnis dieser Aufgabe ist es hilfreich, die Zahl n im Unärsystem darzustellen. Ich verwende "|" als Ziffer. Für n = 5 wäre die Unärdarstellung also |||||. In dieser Darstellung können wir jetzt einfach Trennzeichen für die Behälter einfügen. Ich verwende "," als Trennzeichen. Für k Behälter werden k - 1 Trennzeichen benötigt, für k = 3 also 2 Trennzeichen. Eine mögliche Lösung wäre ||,|,||. Das entspricht der Dezimaldarstellung 2 + 1 + 2 = 5.
Gesucht ist die Anzahl aller verschiedenen Anordnungen von n gleichen Ziffern und k - 1 gleichen Trennzeichen. Wären alle Ziffern und Trennzeichen unterschiedlich, wäre die Lösung einfach die Anzahl der Permutationen (n + k - 1)!. Da aber Ziffern und Trennzeichen mehrfach vorkommen, würden diese mehrfach gezählt werden. Wir können die "Mississippi Regel" anwenden, um die mehrfach gezählten Elemente wieder zu entfernen, indem wir durch n! * (k - 1)! dividieren.
Die Lösung ist also (n + k - 1)! / (n! * (k - 1)!). Für n = 5 und k = 3 ist das Ergebnis 21. Für n = 17 und k = 4 ist das Ergebnis 1140.
Ich empfehle dir ChatGPT. Einfach die Frage so eingeben, ohne das in der Klammer und dann enter klicken. Da gibts dann eine Lösung.
Ich wäre sehr beeindruckt, wenn ChatGPT diese Aufgabe richtig lösen und verständlich erklären könnte.