Münze im Raster Wahrscheinlichkeit?
Hallo ich bin auf eine Hausaufgabe gestoßen und wüsste hier keinen Ansatz.
Eine Münze hat ein d von 23 mm. Auf dem Boden befindet sich ein quadratisches Raster aus Quadranten mit 5cm Kantenlänge. Die Münze wird rein zufällig auf das Raster geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit das die Münze keine Linie des Rasters schneidet? Wird die Linie tangiert, so zählt das nicht als schneiden?
2 Antworten
Hallo.
Der Mittelpunkt der Münze muss zu jeder Linie einen Abstand von mindestens 11,5 mm einhalten.
Ein Raster hat die Fläche
50 * 50 = 2500 mm²
Wenn du von jeder Seite 11,5 mm abziehst, dann verbleibt eine Fläche von
(50 - 11,5)² = 1482,25 mm²
Die Wahrscheinlichkeit beträgt demnach:
1482,25 / 2500 = 0,5929 = 59,29%
Betrachte 1 Rasterfeld mit 5x5cm.
Die Münze hat 23mm Durchmesser, also 11,5mm Radius.
Wo muss also der Mittelpunkt der Münze sein, wenn keine Randlinie geschnitten wird?
Wie groß ist dieser Bereich?
In welchem Verhältnis steht er zur Größe des Rasterfelds?
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Nachtrag:
Nachdem die erste Antwort offenbar nicht verstanden wurde, hier eine Skizze:
Dazu lege ich die Münze jeweils in eine Ecke des Rasterfelds genau so, dass die die beiden Linien berührt:
Wenn ich jetzt die 4 Mittelpunkte der Münzen verbinde, erhalten ich ein kleineres Quadrat:
Wenn der Mittelpunkt der Münze sich also innerhalb des grünen Quadrats befindet, dann wird keine Linie geschnitten.
Dieses Muster wiederholt sich in jedem Rasterfeld, es ist also egal ob Du jetzt einen Quadranten oder 4*4=16 oder unendlich viele betrachtest!
Die Aufgabe besteht somit darin, das Verhältnis des grünen Quadrats zum Rasterfeld zu berechnen.
Das Rasterfeld hat eine Fläche von
Das grüne Quadrat hingegen ist um 2x den Radius der Münze kleiner:
Das Verhältnis beträgt also:
Sagen wir das Raster sind 4x4 Quadranten also 20 cm Länge. Die Münze muss die Linie schneiden nicht einfach nur berühren. Mittelpunkt der Münze ist nicht gegeben.
Dann beträgt die Wahrscheinlichkeit zwischen fast 0% und 100%. Mal ernsthaft, wenn wir nicht wissen wie groß die Münze ist, können wir unmöglich eine Aussage treffen. Auch wissen wir nichts über die Strichdicke des Rasters.
Der Durchmesser der Münze ist ja gegeben, wenn der Fragesteller den Zusammenhang zwischen Mittelpunkt, Radius und Durchmesser eines Kreises nicht versteht, dann fehlt bereits Grundwissen.
Die Strichdicke ist bei solchen (Schul-)Aufgaben immer als infinitesimal dünn anzunehmen, dh eine gerade ist eine eindimensionale Linie.
Mittelpunkt der Münze ist nicht gegeben.
Das ließt sich für mich so, als wenn wir die Größe der Münze nicht kennen. Ansonsten hat er die Antwort auf seine ursprüngliche Frage ja bekommen.
Eine Münze hat ein d von 23 mm
Steht direkt in der Fragestellung.
Und deine Antwort ist übrigens falsch.
Wenn du meine Antwort weiter oben liest, dann hatte ich diese Frage bereits beantwortet. Mein Kommentar den du bemängelst bezieht sich lediglich auf seine Antwort:
Sagen wir das Raster sind 4x4 Quadranten also 20 cm Länge. Die Münze muss die Linie schneiden nicht einfach nur berühren. Mittelpunkt der Münze ist nicht gegeben.
Das weicht maßgeblich von der originalen Frage ab, falls dir das nicht aufgefallen sein sollte.
Wenn du meine Antwort weiter oben liest, dann hatte ich diese Frage bereits beantwortet.
Und wenn Du die Skizze mal betrachtest, dann sollte dir auffallen, dass Du die Frage falsch beantwortet hast.
Ach herrje. Meine Antwort entspricht genau deiner Skizze. Deine Berechnung hingegen nicht.
Daher verabschiede ich mich mal von deiner Antwort. 😉👋
Und als Informatiker hast Du einen klassischen Zaunpfahl-Fehler (aka Obi-Wan-Error) gemacht.