Mathematik, differenzialrechnung?

Wie kommt man auf die jeweiligen ableitungsregeln? Also z.B Produkt oder Quotientenregel?

Ich verstehe die Anwendung aber nicht ganz was sich der Erfinder dabei gedacht hat

Comments

[evtldocha]

was sich der Erfinder dabei gedacht hat

Soll das heißen, Du fragst nach den Beweisen für die Regeln?

[Elia099]

Ja

Answer 1

[evtldocha]

Produktregel:

$\frac{d}{dx}\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)=\lim_{h\to0}\frac{f\left(x+h\right)\cdot g\left(x+h\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}{h}$

Jetzt kommt ein typischer mathematischer Taschenspielertrick: Man addiert ganz schlau eine 0 in dem man einen Term addiert und gleich wieder subtrahiert (kennt man vielleicht noch von der quadratischen Ergänzung). Dies ist hier:

$+\frac{f\left(x\right)\cdot g\left(x+h\right)}{h}-\frac{f\left(x\right)\cdot g\left(x+h\right)}{h}$

Dann sortiert man die Summanden und bekommt (nach entsprechendem Grenzübergang):

$=\lim_{h\to0}\ \frac{\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)\cdot g\left(x+h\right)}{h}\ +\ \frac{f\left(x\right)\cdot\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}=$

$f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)$

Die Quotientenregel kann man ebenfalls direkt mithilfe der Definition der Ableitung als Grenzwert des Differenzenquotienten beweisen - siehe auch hier: https://www.lernhelfer.de/schuelerlexikon/mathematik-abitur/artikel/quotientenregel-der-differenzialrechnung. Andere Beweise nutzen Produktregel und Kettenregel (wie sooft in der Mathematik ist die Frage auch hier: Welche Henne hat zuerst welches Ei gelegt?)

Comments

[NorbertWillhelm]

In der URL ist ein Punkt zu viel am Ende.

[evtldocha]

@NorbertWillhelm

mea culpa ... ich habe einen Typo gemacht.

Answer 2

[Vampirjaeger]

Die Regeln beweist man, meistens durch Verwendung des Diffferenzialquotienten.