Bestimmen sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x)= x^3 - 4 x + 2 in den Punkten P (2| f(2)) und Q (-2| f(-2))?
Kann mir das jemand bitte schrittweise erklären? Danke !!!
Wo hängst du?
Weiss nicht wie ich anfangen soll..
4 Antworten
zuerst
f(2) berechnen
2^3 - 4*2 + 2 =
8 - 8 + 2 = 2
Der Punkt heißt (2/2)
.
danach
die erste Ableitung f'(2) ist die Steigung der Tangente
f'(x) = 3*x² - 4
Die Steigung m im Punkt ( 2 / 2 ) ist f'(2)
= 3*2² - 4
= 12 - 4 = 8
.
Tangente
y = mx + b
m und den Punkt einsetzen, um b zu bestimmen
2 = 8 * 2 + b
2 - 16 = b
-14 = b
.
Die Tangente lautet
y = 8x - 14
.
Probe mit dem Graphen
Eine Tangente berührt eine Kurve in einem Punkt und in diesem Punkt hat die Tangente die gleiche Steigung wie die Kurve, also berechne die Steigung (das ist die erste Ableitung) der Kurve in den gegebenen Punkten
Erste Ableitung: f'(x) = 3x^2-4
f'(2) = 8 = Steigung der Kurve im Punkt x=2 = Steigung der Tangente
f'(-2) = 8
Gleichung der Tangente lautet:
y = ax + b
a ist die Steigung der Tangente und hat den Wert 8, den wir oben berechnet haben
...... das wäre der Beginn der Rechnung :)
Hier ist eine Art "Punkt-Richtungs-Form" für die Gerade am einfachsten:
y - y0 = m * (x - x0)
wobei (x0 | y0) ein Punkt der Geraden ist.
(Bzw. wenn man y allein stehen haben will: y = y0 + m * (x - x0)
Hier ist die Gerade eine Tangente an einen Graphen, damit ist die Steigung der Tangente die Ableitung der Funktion zum Graphen an der Berührstelle.
Für den Punkt P muss man f(2) ausrechnen, um y_P zu erhalten (x_P = 2). Für die Steigung muss man f'(2) ausrechnen. Damit ergibt sich für die Tangente im Punkt P:
y - f(2) = f'(2) * (x - 2)
Q ebenso.
Tangentengleichung: y = mx + n
m ist dabei der Anstieg der der ersten Ableitung der Funktion entspricht
x hast du jeweils gegeben
y kannst du ausrechnen, indem du x in die Funktion einsetzt
die drei Variablen dann in die Tangentengleichung einsetzen und n berechnen
dann hast du m und n und kannst damit: y = mx + n notieren (m und n jeweils einsetzen)