Erweiterter Mittelwertsatz der Differentialgleichung?
Wie der Mittelwertsatz der Differentialgleichung funktioniert, was er aussagt und wie man ihn beweist habe ich verstanden. Was aber sagt der erweiterte Mittelwertsatz aus? Ich versteh einfach nicht warum man nochmal durch g‘(x) teilt, beziehungsweise was das bewirkt? Kann mir das jemand erklären oder Links zeigen, wo das verständlich erklärt wird, weil ich damit gerne die Regel von L‘Hospital beweisen würde.
Lg
1 Antwort
Genau aus solchen Gründen gibt es ihn. Er hat sich als praktisch erwiesen für manch einen Beweis.
Bewirken tut es nichts weiter, es ist einfach eine Verallgemeinerung des ("gängigen") Mittelwertsatzes.
Dafür brauchen wir nicht einmal den erweiterten Mittelwertsatz.
Seien f(x_0) = g(x_0) = 0 und beide qur (a, b) mit x_0 in diesem Intervall differenzierbar.
f(x) / g(x)
= ( f(x) – f(x_0) ) / ( g(x) – g(x_0) )
= ( f(x) – f(x_0) ) / ( x – x_0 ) • ( x – x_0 ) / ( g(x) – g(x_0) )
Der Limes mit x —> x_0 ergibt dann
lim{x—>x_0} f(x) / g(x) = f'(x_0) / g(x_0)
Dabei wurde die Definition der Ableitung und die Eigenschaft der Differenzierbarkeit von f und g ausgenutzt.
Oder meinst du jetzt den Beweis des erweiterten Mittelwertsatzes?
https://de.m.wikipedia.org/wiki/Mittelwertsatz_der_Differentialrechnung
Siehe bei "Erweiterter Mittelwertsatz der Differentialrechnung" unter "Beweis".
Und wie man die Regel von L'Hospital mit dem erweiterten Mittelwertsatz beweisen kann, weiß ich leider auch nicht.
Aber wie gesagt, du brauchst dafür nicht den (erweiterten) Mittelwertsatz.
Und wie kann man seine Aussage beweisen?