Mathematik?
Hallo, kann mir jemand bitte bei Aufgabe 2a helfen? Wie mach ich das?
1 Antwort
Die Vektoren (1; -4; -2) und (-2; -1; 1) spannen genau dann ein Rechteck auf, wenn sie zueinander senkrecht stehen. Um herauszufinden, ob zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, prüfst du, ob ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
Die Eckpunkte des Rechtecks erhältst du, indem du für die Parameter r, s die Kombinationen der Randpunkte des angegebenen Intervalls einsetzt, also:
- r = -1; s = -1
- r = -1; s = 2
- r = 2; s = -1
- r = 2; s = 2
Das Viereck ist eine Teilmenge der Ebene E, an der du interessiert hast. Die Gleichung des Vierecks ist zugleich auch die Gleichung der Ebene, allerdings nehmen die Parameter r, s unabhängig voneinander alle reellen Zahlen an (in anschaulicherer Sprache: r, s laufen unabhängig voneinander von minus Unendlich bis Unendlich.)
Du hast also bereits eine Gleichung der Ebene E. Natürlich könntest du auch noch eine andere Gleichung für die gleiche Ebene aufstellen,aber dafür sehe ich keine Notwendigkeit.
Und wie untersuche ich, ob die Lotfus Punkte im Rechteck V liegen
Die Lotfußpunkte liegen in der Ebene E. Dass heißt, dass es zu jedem Lotfußunkt, eindeutige Werte der Parameter r, s geben muss, die, in die Ebenengleichung eingesetzt, die Koordinaten des Lotfußpunkts ergeben. Wenn nun diese eindeutlgen Werte für r und s beide im Intervall [-1; 2] liegen, liegt der Lotfußpunkt im Rechteck V, ansonsten außerhalb des Rechtecks v.
Die benötigten Werte von r und s erhältst du, indem du den Lotfußpunkt gleichsetzt der Ebene und das erhaltene Gleichungssystem nach r und s auflöst. Wir haben hier drei Gleichungen mit 2 Unbekannten, das aber für einen fehlerfrei bestimmten Lotfußpunkt eine eindeutige Lösung inden Unbekannten r, s haben muss.
Ich habe für Lq ganz komische Werte. Ich ergänze meine Frage.
Für die Lotgerade Q nehme ich doch einfach den Punkt und den Normalenvektor oder?
Richtig. Die Lotgerade geht durch den Punkt Q und ihr Richtungsvektor ist der Normalenvektor der Ebene. Der Lotfußpunkt ergibt sich dann als gemeinsamer Punkt von Ebene und Gerade.
Als Normalenvektor der Ebene erhalte ich [-6; 3; -9] und für die Lotgerade durch den Punkt Q mithin die Vektorgleichung
x = (-8; -4; 6) + t*(-6; 3; -9)
Das ist der Ebenengleichung gleichzusetzen und nach r, s, t aufzulösen. Ich erhalte r = 3/7, s= 36/7, t = -1/7
s liegt außerhalb des Intervalls [-1; 2], also trifft der Lotfußpunkt LQ nach meiner Rechnung nicht das Viereck V. Passt das zu deinen Ergebnissen?
Die Koordinaten des Lotfußpunkts von Q auf E erhältst du, indem du t in die im vorherigen Kommentar angegebene Geradengleichung einsetzt. Ich erhalte:
(-50/7; -31/7; 48/7)
Um die Ebene e zu bestimmen, mache ich aus den Eckpunkten eine Ebene?