Mathe Potenzrätsel Lösung?
Wäre nett wenn man mir den Lösungsweg zeigen würde Danke!
5 Antworten
Hallo,
es kann sich nur um das Quadrat einer ungeraden Zahl minus 1 handeln, sonst könntest Du die Zahl nicht ohne Rest halbieren.
Probier halt ein wenig herum.
Die nächste Zahl liegt zwischen 1000 und 2000.
Da ungerade Quadratzahlen nur auf 1, 5 oder 9 enden können, muß die gesuchte Zahl auf 0, 4 oder 8 enden.
Die Hälfte einer Zahl, die auf 4 endet, endet auf 2. 2+1 ergibt 3.
Da es keine Quadratzahl mit 3 am Ende gibt, kannst Du daher auch Zahlen mit 4 am Ende ausschließen und damit alle Quadratzahlen, die auf 5 enden.
Du brauchst also nur noch Zahlen, die auf 0 oder 8 enden, zu untersuchen, bzw. Quadratzahlen auf 1 oder 9, deren Wurzeln auf 1, 3, 7 oder 9 enden.
Herzliche Grüße,
Willy
Die Hälfte von einer Zahl mit 4 am Ende kann auch zu einer Zahl mit 7 führen.
7+1=8 und auch auf 8 endet keine Quadratzahl.
Die 4 am Ende kannst Du also auf jeden Fall ausschließen.
Man kann die Lösungen auch ausrechnen.
Die Gleichungen x + 1 = p² und x/2 + 1 = q² führen zu
p² - 2 q² = -1
Das ist eine Pellsche Gleichung. Die Lösungen ergeben sich über die Kettenbuchentwicklung von Wurzel(2). Ohne das jetzt im Detail auszuführen, kann man die Lösungen wie folgt parametrisieren:
p_0 = -1, q_0 = 1
p_1 = 1, q_1 = 1
p_n = 2 p_(n-1) + p_(n-2), q_n = 2 q_(n-1) + q_(n-2) (für n>1)
Für ungerade n erhält man die Lösungen, also z.B. p und q gleich
7 und 5
41 und 29
239 und 169
1393 und 985
8119 und 5741
47321 und 33461
....
Die ersten Zahlen mit den genannten Eigenschaften lauten:
- x=48, x+1=7^2, x/2+1=5^2
- x=1680, x+1=41^2, x/2+1=29^2
- x=57120, x+1=239^2, x/2+1=169^2
- x=1940448, x+1=1393^2, x/2+1=985^2
- x=65918160, x+1=8119^2, x/2+1=5741^2
- x=2239277040, x+1=47321^2, x/2+1=33461^2
- x=76069501248, x+1=275807^2, x/2+1=195025^2
- ...
@Willy1729 hat gezeigt, dass die gesuchten Zahlen auf 0 oder 8 enden muessen. Die zweite Zahl laesst sich durch Probieren dann relativ schnell finden.
Mithilfe von Excel:
1680
welche 2 Gegebenheiten? 5x5 wird immer 25 sein und 7x7 eben 49 . Die gegebenheit das es was besonderes ist? naja.. ^^
Das steht doch da. Es wird die nächste Zahl gesucht bei der sowohl die Folgezahl (n+1) als auch die Folgezahl der Hälfte (n/2+1) eine Quadratzahl ist.
Die Frage steht am Ende der Seite, der letzt Abschnitt