Mathe: Beweis Sei Faktor Null, Produkt Null
Hallo,
Für eigenes Interesse am Fach (keine Hausaufgabenfrage!) würde ich gerne wissen, ob es einen Beweis für die Aussage gibt:
-
Sei mindestens ein Faktor einer Multiplikation 0, so beträgt das Produkt ebenfalls 0.
also
-
0x = 0
Gegoogelt habe ich natürlich schon, leider aber nichts gefunden.
Mfg,
KnorxThieus
5 Antworten
Das kommst immer drauf an, welche Voraussetzungen du hast. Wenn du das Distributivgesetz (a+b) * c = ac + bc hast und die Aussage, dass es zu jedem a auch ein -a mit a + (-a) = (-a) + a = 0 hast, dann ist das einfach:
0x = (0+0) x = 0x + 0x
dann auf beiden Seiten -0x addieren:
0x + -(0x) = 0x + 0x + (-0x)
Beide Seiten ausrechnen:
0 = 0x.
Mal so ein bisschen Hintergrund dazu: Üblicherweise nimmt der Mathematiker eine Menge und dazu ein oder mehrere innere Verknüpfungen auf dieser Menge, also z. b. so etwas wie + oder * , eine Verknüpfung also, bei der ich aus zwei Elementen der Menge ein neues Element mache. Dann fordert man eine Reihe von Eigenschaften - das Assoziativgesetz, die Existenz eines neutralen Elements (bei der Addition nennt man das 0), evtl. inverse Elemente (die nennt man bei der Addition negativ) usw. Je nachdem, welche dieser Eigenschaften erfüllt sind, bekommt das ganze dann einen Namen.
Menge mit innerer Verknüpfung, die assoziativ ist und ein neutrales Element hat: Halbgruppe.
Dazu zu jedem Element ein Inverses hat: Gruppe.
Dazu Kommutativgesetz: abelsche Gruppe.
Menge mit zwei Verknüpfungen (z. B. + und * ), beide Verknüpfungen assoziativ, erste Verknüpfung kommutativ, mit neutralem Element, mit inversen Elementen, Distributivgesetz: Ring.
Dazu neutrales Element der zweiten Verknüpfung: Ring mit 1.
Dazu zweite Verknüpfung kommutativ: kommutativer Ring.
Dazu inverse Elemente für zweite Verknüpfung: Körper.
In diesem Zusammenhang würde man dann deine Frage so beantworten: Wenn die betrachtete Menge aus der x und 0 stammen ein Ring ist, dann lässt sich das zeigen (wie ich das oben gemacht habe) und man muss es nicht fordern. Die Mengen, die man in der Schule so betrachtet, wie z. B. Z oder Q oder R sind alles Ringe (N aber nicht), daher stimmt das für diese Mengen.
Was genau verstehst Du nicht? Ich kann das gerne noch mal kleinschrittig machen:
0 = 0x + (-0x) = (0 +(-0)) * x = (0-0) * x = 0 * x.
Erstes Gleichheitszeichen:
Wenn ich zu einer Zahl ihr negatives addiere, dann kommt Null heraus. So ist das negative definiert, das muss ich also nicht beweisen. Und genau das sagt die Gleichung:
0 = 0x + (-0x).
Der Mathematiker nennt das negative auch das "additiv inverse", aber so tief musst du nicht einsteigen. Hier steht wirklich: ich addiere eine Zahl (0x) und ihr Negatives (-0x) und das ergibt 0. Zu diesem Zeitpunkt tue ich mal so, als ob ich noch nichts über 0x weiß - aber diese Gleichung würde auch gelten, wenn 0x irgendeinen beliebigen anderen Wert hätte.
Jetzt steht da 0x + (-0x). Aus einer Summe kann man "Ausklammern", d. h. einen gemeinsamen Faktor herausziehen. Ich ziehe den Faktor x heraus - und zwar nach hinten:
0x + (-0x) = (0 + (-0)) * x
Wenn du die linke Seite jetzt wieder ausmultiplizierst, siehst du, dass diese Gleichung stimmt. Benutzt habe ich dafür das Distributivgesetz.
Jetzt schaue ich mir (0 + (-0)) an. Hier addiere ich zu einer Zahl (nämlich 0) ihr negatives (nämlich -0). Dazu habe ich oben schon etwas gesagt - da kommt nämlich immer 0 heraus.
(0 + (-0)) * x = 0 * x.
Wenn ich jetzt die ganze Gleichungskette anschaue, steht da
0 = 0 * x
und genau das wolltest du ja haben.
Das Inverse bzgl. der Addition ist das Negative, das Inverse bzgl. der Multiplikation ist der Kehrwert. Hier geht es um die Aussage:
Ich habe ein Element x. Gesucht ist ein Element y, so dass
bzgl. der Addition gilt: x + y = 0
bzgl. der Multiplikation gilt x * y = 0.
Wenn ich z. B. N° (Menge der natürlichen inkl. Null) und die normale Addition betrachte, dann finde ich so was nicht immer - es gibt z. b. keine natürliche Zahl für die gilt
1 + y = 0.
In Z (ganze Zahlen) finde ich so etwas, da ist 1 + (-1) = 0.
Dafür finde ich keine ganze Zahl y, für die gilt
5 * y = 1
In Q (rationale Zahlen) dagegen finde ich y = 1/5.
Invers wird in der Schule manchmal "Gegenzahl" genannt - es hängt immer davon ab, ob man die Addition oder die Multiplikation betrachtet.
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Leider verstehe ich das überhaupt nicht.
Was heißt
0x = (0+0) x = 0x + 0x
?
Es ist ja 0 das neutrale Element der Addition, d. h. egal, zu was du 0 addierst, der Wert ändert sich nicht. Das bedeutet insbesondere, das
0 = 0+0 ist.
Daher ist
0 * x = (0+0) * x
Nun gilt das Distributivgesetz: (a+b) * c = a * c + b * c. In der Schule nennt man das meistens "ausmultiplizieren". Ich multipliziere also die Klammer aus:
(0+0) * x = 0 * x + 0 * x.
Jetzt habe ich herausgefunden, dass
0 * x = 0 * x + 0 * x
gilt.
Bei dieser Gleichung ziehe ich auf beiden Seiten 0 * x ab. Dann steht da
0 * x - 0 * x = 0 * x + 0 * x - 0 * x.
Nun ist 0 * x - 0 * x = 0.
Also gitl
0 = 0 * x + 0, also 0 = 0 * x
Ok betrachten wir die Sache mal ganz plastisch. Wenn du etwas "mal" nimmst dann verfielfachst du es um diesen Faktor
Zwei mal einen Apfel sind gleich zwei Äpfel.
Wenn du allerdings sagst du hattest bisher 0 mal zwei mal einen apfel bedeutet das ja das du für den Fall, das es so gewesen wäre du zwei Üpfle gehabt hättest Da du bisher allerdings noch nicht (0 mal) zwei mal einen Apfel (also zwei Äpfel) gehabt hast ist das Ergebnis, wenn dich einer fragt, wie viele Äpfel du nun hast 0
Wie ein mathematischer Beweis. Der Beweis ist, dass die Zahl 0 einem Wert von "nicht vorhanden" entspricht! Du kannst ja beispielsweise auch nicht durch 0 teilen. Ein mal die Null ist 0
0 mal die 1 ist kein mal die 1 also 0
Uuuhh... also FataMorgana war da hilfreicher...
Ja dann tuts mir leid ganz ehrlich... So blöde Sprüche kannst du dir aber auch sparen, ich hab schließlich auch nur versucht dir zu helfen!!! Hättest das übrigens auch mal googlen können...da hättest du zu 100% was gefunden und zwar ohne dabei Leute dumm anzumachen.
Ich habe gegoogelt, und zwar ziemlich lange erfolglos (3/4 Stunde).
Ich mache hier niemanden blöd an, bloß ist das kein Mathe-Beweis. Oder kannst du das als Formel ausdrücken?
0 = 0+0 ------> x * 0 ---------> x ( 0+0 ) ----->x *0 + x *0 = 0 !
Ich glaub ich verstehs. (als einziges bisher)
So meinst du das?
0 = 0 + 0 |× x
0x = x(0 + 0)
1 = 0x + 0x
So ganz versteh ich es aber doch nicht. wieso ist das x auf der linken seite jetzt weg? und wieso ! ?
Ich denke mal, dass die Multiplikation so definiert ist, dass 0 mal einer anderen Zahl 0 ergibt (bei zwei Faktoren).
Außerdem gehe ich davon aus, dass es für Assoziativ- und Distributiveigenschaft der Multiplikation Beweise gibt.
Dann kann ich die (bzw. eine) Null aus meinem Produkt aus mehreren Faktoren ausklammern und habe ein Produkt aus einer Null und nur noch einer weiteren Zahl (nämlich dem Produkt der anderen Faktoren).
-- Edit --
Besser die Antwort von FataMorgana2010 lesen - die ist korrekter!
Nein, die Multiplikation ist nicht so definiert, man fordert die Gültigkeit der Existenz eines additiv Inversen und das Distributivgesetz - das reicht.
Meinst du
0x = 0 |:0
0(x) = 0 ; sind alle nicht definiert? durch 0 nicht möglich?
Geht schnell über einen Widerspruch: nehme an, dass b/=0 und nehme an, dass 0*a=b mit a/=0.
Auf beiden Seiten durch b teilen (ist ja ungleich 0) => 0*(a/b)=1
Durch (a/b) teilen => 0=b/a => b=0 => Widerspruch zur Annahme b/=0
So hier?
a ≠ 0
b ≠ 0
0a = b | : b
0a : b = 1 | : (a : b)
0 = 1:a × b
0 = b : a
Und wieso ist b dann gleich null?
Abgesehen von den fehlenden Klammern in der letzten Zeile, ja. Ist sicher nicht der eleganteste Weg, aber sollte klappen. Damit b/a gleich Null wird, müsste a sonst unendlich groß sein, und das ist in der Standardanalysis nicht zulässig.
Oder in einer einzigen Gleichungskette:
0 = 0x + (-0x) = (0 +(-0)) * x = (0-0) * x = 0 * x.