Lage von Ebenen als Lösung kommt r = 0 raus, schneiden sich die Ebenen?
Hey Leute, wenn ich eine Ebene in Parameterform und die andere in Koordinatenform habe, und ich beim Einsetzen der Parameterform in die Koordinatenform und anschließendem ausmultiplizieren / ausaddieren zum Schluss auf r=0 komme (r ist ein Parameter in der einen Ebene), deutet diese Lösung auf eine Schnittgerade hin? Wenn als Erbenis 0=0 kommt, dann sind die Ebenen identisch, wenn 0=1 (oder andere Widersprüche) ist, dann sind die beiden Ebenen parallel und wenn sowas wie r=2t rauskäme, dann gibt es eine Schnittgerade. Kann man r=0 auch als r=0t interpretieren und somit eine Geradengleichung aufstellen? Gilt dasselbe dann auch für den Fall r=1?
2 Antworten
Also zunächst mal, du hast ja nicht nur r sondern auch s (oder t). Ich empfehle dir, in solchen Fällen die Parameterform sofort in die Koordinatenform umzustellen, denn das Rechnen mit der Parameterform ist das Umständlichste, was es gibt. Du bekommst dadurch zwei Gleichungen mit drei Unbekannten, wovon du eine Unbekannte frei wählst, z. B. x_3=t. Dann die beiden Gleichungen nach x_1 und x_2 auflösen und jetzt kannst du problemlos entscheiden, was Sache ist. Alles andere führt nur zu immer wieder auftretenden Fehlern.
Die Schnittmenge zweier dreidimensionaler Ebenen ist entweder eine Gerade oder die Nullmenge. Angenommen es ist eine Gerade, dann lautet diese in Vektorform
(1) g = v1 + r * v2
Die Unterscheidung des Faktors r und t kann ich deshalb nicht nachvollziehen. Der Fall r = 1 ist möglich, denn das ist in der Geradengleichung (1) ein beliebiger, reeller Faktor.
Im Fall r = 0 reduziert sich die Geradengleichung zum Punkt v1. Dieser Punkt ist aber auch Teil der Schnittgeraden, also erstmal kein Hinweis auf parallele Ebenen.