Parameterform einer Ebene in Koordinatenform mit Hilfe vom LGS?

ich hab mir grad so eine Aufgabe angeguckt bei der man eine Ebenengleichung in der Parameterform mit Hilfe eines Gleichungssystems in die Koordinatenform bringt. Dabei kam dann -2x1+6s+6+6s=4 raus. Als Ergebnis war aber E: -2x1+5x2+3x3=4 gegeben. Ich hab einfach keine Ahnung wie man darauf kommt. Wo ist die 6 hin? was ist mit den s? und warum sind die Zahlen so anders wenn man es doch einfach nur ablesen muss??? :(

Answer 1

[Willy1729]

Hallo,

wenn ich Dich richtig verstanden habe, wolltest Du eine Ebene, die in Parameterform dargestellt ist, in eine Koordinatenform umwandeln.

In der Parameterform hast Du einen Stützvektor, zu dem zwei Richtungsvektoren, die jeweils mit einem Parameter multipliziert werden, addiert werden.

Das Ganze sieht dann so aus (die Vektoren notiere ich hier wie Punkte, weil ich die übliche senkrechte Darstellungsform hier nicht wiedergeben kann:

E=(1|2|3)+l*(2|-1|1)+m*(3|2|1)

Um dies in die Koordinatenform umzuwandeln, ersetzt Du das E durch den Vektor (x|y|z) (Dein x1; x2; x3, ich bin halt die andere Schreibweise gewohnt und werde sie hier beibehalten, um mich nicht zu vertippen.)

(x|y|z)=(1|2|3)+l*(2|-1|1)+m*(3|2|1)

Hieraus kannst Du drei Gleichungen machen:

I: x=1+2l+3m

II: y=2-l+2m

III: z=3+l+m

In diesen Gleichungen mußt Du zunächst die Parameter l und m loswerden.

Dazu drückst Du einen Parameter durch einen anderen aus und setzt ihn in die anderen Gleichungen ein:

III: l=z-m-3

I: x=1+2*(z-m-3)+3m

II: y=2-(z-m-3)+2m

Nun löst Du die Klammern auf:

I: x=1+2z-2m-6+3m

II: y=2-z+m+3+2m

Zusammenfassen:

I: x=-5+2z+m

II: y=5-z+3m

Nun löst Du Gleichung I (hier steht das m schon ohne Faktor) nach m aus und setzt den gefundenen Ausdruck in Gleichung II ein:

I: m=x+5-2z

II: y=5-z+3*(x+5-2z)

Jetzt nur noch die Klammer auflösen:

y=5-z+3x+15-6z

und zusammenfassen:

y=20-7z+3x

und sortieren:

3x-y-7z=-20

Wenn ich mich nicht irgendwo verrechnet habe, müßte dies die Koordinatenform sein.

Deine Rechnung muß schon deswegen falsch sein, weil darin noch das s aus der Parameterform auftaucht. Wie gesagt, müssen die Parameter zunächst entfernt werden, indem man eine Gleichung nach einem Parameter auflöst, das Ergebnis in die beiden anderen Gleichungen einfügt, dann den anderen Parameter in einer dieser beiden verbliebenen Gleichungen auflöst und in die dritte einsetzt, die nun - wie gezeigt - parameterfrei ist.

Viel Erfolg,

Willy