Kurze Matheaufgabe zum Nachdenken?

Die Summe zweier Zahlen ist 120. wie lauten diese beiden Zahlen, wenn das Produkt dieser möglichst groß sein soll?

Answer 1

[Quotenbanane]

Offensichtlich 60.

Beweis: Sei x eine Zahl in [0,120]. Die zweite Zahl muss dann logischerweise z = 120-x sein.

Das Produkt lautet dann x*(120-x). Wir definieren uns eine Funktion...

$f\left(x\right):=x\cdot\left(120-x\right)$

mit x aus [0,120]. Diese Parabel ist nach unten offen. Wir wissen, dass der Scheitelpunkt (=Hochpunkt) der größte Wert ist. Dort ist die Parabel maximal.

Dieser Scheitelpunkt/Hochpunkt ist zwischen den Nullstellen. Also zwischen 0 und 120.

Darum ist der Maximalwert bei x = z = 60.

Hier ein Ausschnitt der Funktion...

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematik-Studium

Answer 2

[BiggerMama]

x = 120 / 2

x = 60

das Produkt beider angenommenen Zahlen kann als (x - a) * (x + a) dargestellt werden, also x^2 - a^2. Das ist am größten, wenn a = 0.

Bede Zahlen sind 60.

Answer 3

[JCMaxwell]

Gesucht sind natürliche Zahlen m, n sodass das Produkt m*n unter der Nebenbedingung m+n=120 maximal wird. D.h. du bist interessiert an

$\text{argmax}_n\left(120-n\right)\cdot n$

Betrachten wir eine Relaxation dieses Problems und lassen reelle Zahlen als Lösung zu. Da die Funktion

$x\ \mapsto\ 120x^{ }-\ x^2$

konkav ist, wird das Maximum in genau dem Punkt angenommen, in welchem die erste Ableitung verschwindet, also muss

$120-2x_0=0$

gelten für die Stelle x_0, an der die Funktion maximal wird. Umstellen liefert x_0 = 60. Da diese Lösung ganzzahlig ist, löst x_0 auch unser nicht-relaxiertes Problem. D.h die Lösung lautet

$n=60,\ m=120-60=60.$

Ich finde den Formeleditor dieser Website fürchterlich.

Answer 4

[Geograph]

Summe: a + b = 120

Produkt: P = a • b = a • (120 - a)

P' = (120 - a) - a = 0

a = 120/2 = 60 = b

Answer 5

[busspuss99]

Ich tippe mal auf 60 und 60.

Weil wenn ich mit dem Nenner oder dem Zähler höher gehe muss sich die andere Zahl verringer, war bei einer Multiplikation schlecht ist.