Krümmungskreis und Krümmungsradius?

Kann mir jemand die Herleitung für die Formel des Krümmungskreises K(x) (f''(x))/(1 + ((f'(x))^2)^3/2))= erklären?

Außerdem verstehe ich nicht, warum man bei er allgemeinen Formel für den Kreisradius r = sqrt(x^2 + y^2) einfach die Koordinaten des Mittelpunktes des Kreises vernachlässigt. Denn wenn man die Formel nach y umstellt: y = sqrt(r^2 - x^2), steht in allen Bücher und Formelsammlungen, dass sich damit der Radius berechnen lässt, solang man einen Punkt auf dem Krümmungskreis weiss. Jedoch verstehe ih nicht, warum die Koordinaten des Mittelpunktes nicht in der Formel vorhanden sind. Eigentlich müsste man doch mit ∆x und ∆y rechnen, sobald der Mittelpunkt nicht im Ursprung liegt, oder?

Answer 1

[gauss58]

Die Koordinaten des Mittelpunktes M werden nicht vernachlässigt. Ohne die Einzelschritte alle aufzuführen, gilt:

(1) y_M = y - ((1 + y'²) / y'')

(2) x_M = x - ((y' * (1 + y'²) / y'')

Kreisgleichung:

(3) r² = (x - x_M)² + (y - y_M)²

(1) und (2) in (3) führt zu:

Krümmungsradius:

(4) r = |(y'² + 1)^(3/2)) / y''| = 1 / |K|

siehe hierzu auch:

http://mathenexus.zum.de/html/analysis/kurvendiskussion/weiterfuehrendes/anw_03_Kruemmungskreise.htm