[Mathe] Koordinaten des Mittelpunktes einer Strecke?
Guten Abend,
vielleicht kann mir ja jemand erklären, wie man die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke AB berechnet.
Gerne auch am besten die Formel die man dazu braucht erklären und gerne auch zeigen wie man sie aufstellt.
Danach werde ich dann Aufgabe 6 Nr a) bis i) machen.
Vielen Dank im Voraus.
Liebe Grüße
Habe es verstanden.
5 Antworten
vielleicht kann mir ja jemand erklären, wie man die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke AB berechnet.
Nichts leichter als das. Der Ortsvektor von M = Koordinaten von M ist der Durchschnitt der beiden Ortsvektoren von A und B.
a)
M = 1/2 * (A +B) = (8/2 / 8/2) = (4/4)
i)
M = 1/2(A + B) = (1/2*√400 / 1/2 * √16) = (10/2)
Ob die Aufgabe nun z.B. lautet: zwei Freunde gehen wandern. Der eine hat einen Rucksack mit 2kg, der andere mit 6 kg. Welches mittlere Gewicht müssen sie schleppen? ..oder ob man eine mittlere Koordinate berechnet, ist völlig egal. Es wird immer der Durchschnitt ermittelt. Bei den Punkten eben getrennt nach x- und y-Koordinate.
Auf den ersten Blick beim anschauen deiner Antwort verstehe ich es zwar noch nicht, schaue es mir aber direkt nach der Schule an! 💚 Vielen Dank für die sehr frühe Antwort ! 😊
Kannst du mir das vielleicht an einem Beispiel erklären?
Wir haben eine Gerade mit der Steigung m = -0,5
Wenn wir nun das Steigungsdreieck bilden, erhalten wir:
m = Δy / Δx = 2 / -4 = -0,5
Wenn wir nun den tangens bilden:
tan m = tan -0,5 erhalten wir duch die Definition des Tangens den Innenwinkel α' des Steigungsdreiecks.
Mit tan^-1 (-0,5) wirft der Taschenrechner entsprechend der Definition des Tangens als Winkel in einem Dreieck den Winkel α' = -26,6° aus. Das Minus kommt daher, dass dieser Winkel von der (negativen) x-Achse aus rechts rum läuft, was per Defintion negativ ist.
Nun ist es aber so, dass die Defintion des Steigungswinkels einer Geraden in einem Koordinatensystem etwas anders ist als die Defintion des Tangens. Da wird nicht der Innenwinkel des Steigungsdreiecks genommen, sondern unabhängig vom Vorzeichen der Steigung immer der Winkel von der x-Achse linksrum bis zur Geraden. Der Steigungswinkel ist also immer:
0 ≤ α ≤ 180°
und damit grundsätzlich positiv. Das hat in manchen Fällen ganz praktische Vorteile, weil es dann immer nur einen Winkel α und nicht wahlweise mal α und dann wieder mal α' gibt.
Daher muss man das Ergebnis, das sich aus der Defintion des Tangens ergibt in das Ergebnis umrechnen, das sich aus der Defintion des Steigungswinkels einer Geraden ergibt. Das erfolgt dann immer duch die Vorschrift:
α = 180° + α'
für alle m < 0
„entsprechend der Definition des Tangens“ - das verstehe ich auch noch nicht 🤔
Der Tangens ist definiert als Gegenkathete durch Ankathete und bezieht sich immer auf den Innenwinkel eines Dreickes. Irgendeine Steigung kommt in dieser Defintion überhaupt nicht vor.
Ich hab gedacht, der Winkel wird immer von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
Ja, aber nur in Bezug auf eine Gerade in einem Koordinatensystem. Das ist einfach so festgleget.
Das gilt aber nicht für Dreiecke, die überhaupt kein Koordinatensystem benötigen und streng genommen auch gar keine Außenwinkel haben, sondern nur Innenwinkel. In Bezug auf die Dreiecke ist der Tangens definiert, nicht aber in Bezug auf Geraden in Korrdinatensystemen.
Noch ne Ergänzung. Die Winkelfunktionen sin, cos, tan, cot sind aus der Betrachtung von Dreiecken entstanden und über die Winkel und Seiten in einem Dreieck definiert.
Später hat man dannn aber festgestellt, dass man mit diesen Dreiecksfunktionen noch ganz andere tolle Dinge berechnen kann, die mit Dreiecken überhaupt nichts mehr zu tun haben. Ich denke da z.B. an komplexe Zahlen, an Blind- und Wirkströme, an Schwingungen, in Differentialrechnungen, bei der Lösung von e-Funktionen und vieles mehr. Da muss man dann öfters mal von der ursprüngliche Defintion über Dreieckswinkel etwas abweichen oder diese erweitern, dass es für die speziellen Anwendungen immer noch passt. Ein solcher Fall liegt halt auch bei der Steigung einer Geraden vor.
Ertsmal allgemein zu Annahmen, Vereinfachungen, Modellen, Gesetzen und Faustformeln:
Es ist ein Irrtum zu glauben, dass irgendwelche Formeln, matehmatischen Gesetze, Naturgesetze, Modelle oder Faustformeln exakt wären. Sie liefern immer nur Näherungslösungen. Das liegt daran, dass die wirkliche Natur gar nicht zu beschreiben ist, denn da hängt alles mit allem zusammen und es gibt hunderte verschiedener Einflüsse, die zum einen nicht erfassbar sind und zum anderen zu wahnsinnig komplizierten Gleichungen führen würden, mit denen man nicht mehr vernünftig arbeiten kann. Also werden Modelle gebildet, bei denen alle geringen und unerwünschten Einflüsse ausgeblendet werden und nur der Haupteinfluss berücksichtigt wird. Nur innerhalb dieser die Natur vereinfachenden Annahmen gelten dann die gefundenen "Gesetze". Der Vorteil liegt darin, dass mit denen einfach zu arbeiten ist. Sie liefern dafür aber grundsätzlich nur Näherungslösungen, die für die meisten Anwendungen allerdings hinreichend genau sind.
Zu einer wissenschaftlich seriösen Anwendung von vereinfachenden Modellen gehören daher immer auch eine Betrachtungen der Grenzen dieser Modelle und der möglichen Fehler, wozu die Angabe der getroffenen Annahmen und Vereinfachungen gehören.
Ich verstehe immer nicht, was hier bei dem Buch mit „Nennen Sie dabei Annahmen und Vereinfachungen“ gemeint ist.
Da das Abi auf eine wissenschaftliche Laufbahn vorbereiten soll, wird das eben jetzt schon gefordert.
a)
BAK(t) = BAK_0 - 0,15 ‰/h * t
mit = BAK_0 Anfangsalkoholisierung in Promille
t in Stunden
Annahmen:
Die Abbaurate von 0,15 ‰/h wird als konstant angenommen. Dadurch ergibt sich ein linearer Zusammenhang von BAK und Zeit t.
Vereinfachungen:
Abhängigkeiten der Abbaurate von der einzelnen Person, von weitern Faktoren wie z.B. Nahrungsaufnahme oder gesundheitlichem Zustand sowie vom momentanen BAK werden vernachlässigt.
b)
BAK_0 = 0,6 ‰
BAK(t) = 0,1 ‰
gesucht: t
Ansatz:
BAK(t) = 0,6 ‰ - 0,15 ‰/h * t = 0,1 ‰
0,15 ‰/h * t = 0,5 ‰
t = 0,5 ‰ / 0,15 ‰/h = 3,33 h = 3 1/3 h = 3 h 20 min
c) Bei einem linearen Abbau würde die Grafik so aussehen (grüne Gerade):
Maßstab x-Achse: 1 Kästchen = 50/3 Minuten ≈ 17 min
Bei einem linearen Abbau wäre nach ca. 125 Minuten der Alk. vollständig abgebaut.
Tatsächlich ist diese aber laut Grafik erst nach ca. 180 min erfolgt.
Demnach dauert der vollständige Abbbau sogar:
(180 - 125)/125 = 0,44 = 44 % länger.
Insofern stimmen Text und Grafik nicht ganz überein.
Wenn du zwei Zahlen a und b gegeben hast, bekommst du den Wert c in der Mitte mit
c=½(a+b)
So rechnest du ja auch den Durchschnitt aus.
Bei 6a)
A(2|1); B(6|7)
½(2+6)=4 <-- x-Koordinate
½(1+7)=4 <-- y-Koordinate
M(4|4)
🤓
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Zusätzliche Frage, die heute aufgekommen ist bezüglich einer Aufgabe:
Das es zwei verschiedene Prozentzeichen gibt, war mir nicht bewusst. Ich dachte Prozent bedeutet immer von 100.
Folgendes sagt Google zu „‰“:
Wie nennt man dieses Zeichen (‰)? Einfach „pro tausend“? Denn das normale (%) Zeichen nennt man ja Prozent und auch nicht pro Hundert.
% bedeutet pro Hundert und da Hundert auf Lateinisch centum heißt, sagt man prozent
‰ bedeutet pro Tausend und da Tausend auf Latein mille heißt, sagt man üblicherweise promille
Ahh, daher kommt auch der Begriff Promille für das Alkohol im Blut
Ich verstehe immer nicht, was hier bei dem Buch mit „Nennen Sie dabei Annahmen und Vereinfachungen“ gemeint ist.
Hier steht das bei der Aufgabe 10 a) auch.
Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich auf die Funktion komme?
Ich habe ja keine angegebene Blutalkoholkonzentration. Soll man hier frei eine aussuchen?
Was genau ist der Unterschied zwischen dem Steigungswinkel und dem Schnittwinkel?
Der Schnittwinkel ist doch der Winkel, wenn sich zwei geraden schneiden. Und zwar immer der kleinere von beiden Winkeln.
Der Steigungswinkel ist einfach der Winkel der Steigung der Geraden. Der Steigungswinkel ist doch extrem leicht auszurechnen:
tan^(-1)(m) = …
Also einfach die Steigung m einer Geradenfunktion in die tan^(-1)(m) einsetzen.
Oder ist die Berechnung des Steigungswinkels auch noch anders möglich? Das ist doch die einfachst Methode, richtig?
Wenn ich bei folgender Funktion den Steigungswinkel berechne, bekomme ich ein negatives Ergebnis:
g(x) = -0,5x + 6
Ist es so, dass wenn die Steigung einer Funktion negativ ist der „Steigungswinkel“ auch immer anfangs negativ ist und man eine weitere kleine Rechnung durchführen muss?
g(x) = -0,5x + 6
Alpha = tan^(-1)(-0,5)
Alpha = -26,57°
Alpha = …
Muss man dann immer 180 Grad minus das negative Ergebnis des „Steigungswinkels“ nehmen, um den Steigungswinkel zu erhalten?
Wieso muss man es von 180° abziehen?
Kannst du mir dass vielleicht einmal genau erklären 🤔
Ich hinterfrage immer alles genau, um es perfekt zu verstehen. Denn das finde ich das wichtigste. Etwas auswendig zu lernen und nicht zu wissen, wieso etwas so ist, macht für mich keinen Sinn, finde ich.
Danke für deine Hilfe 💚
Ich hinterfrage immer alles genau, um es perfekt zu verstehen. Denn das finde ich das wichtigste. Etwas auswendig zu lernen und nicht zu wissen, wieso etwas so ist, macht für mich keinen Sinn, finde ich.
Da stimmt ich dir voll zu. Nur dann kann man erlerntes Wissen auch auf neue Fälle anwenden und genau darauf kommt es an.
Muss man dann immer 180 Grad minus das negative Ergebnis des „Steigungswinkels“ nehmen, um den Steigungswinkel zu erhalten?
Ja
Wieso muss man es von 180° abziehen?
Weil es die Konvention (Festlegung) gibt, dass Winkel immer von der positiven x-Achse aus entgegen des Uhrzeigersinnes angegeben/gemessen werden. Durch diese Konvention sind alle Winkelangaben eindeutig. Ansonsten müsste man immer nachfragen oder dazu sagen, im Verhältnis zu welcher Achse denn der Winkel gemeint ist.
Der arctan (tan^-1) gibt das aber nicht direkt her. Der wirft bei einem negativen Wert per Definition den kleineren negativen Winkel aus (Winkel zur negativen x-Achse). Da muss man dann eben mit + 180° nachhelfen.
Aber wenn es entgegen des Uhrzeigersinnes geht, wie kann dann ein negatives Ergebnis herauskommen. Das verstehe ich irgendwie immer noch nicht. Kannst du mir das vielleicht an einem Beispiel erklären?
Je weiter es entgegen des Uhrzeugersinn doch geht, müsste der Winkel doch eigentlich immer größer werden.
Ich hab gedacht, der Winkel wird immer von der positiven x-Achse aus gegen den Uhrzeigersinn gemessen.
Ich verstehe es immer noch nicht genau, wie der Winkel negativ sein kann.
„entsprechend der Definition des Tangens“ - das verstehe ich auch noch nicht 🤔