Kosinussatz umstellen mit Äqiivalenzumformungen?
Ich muss demnächst eine GFS über den Sinus- und Kosinussatz halten und mir ist aufgefallen, dass man den Kosinussatz ja, genau wie den Sinussatz, mit Äquivalenzumformungen umstellen könnte:
c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos(gamma) | - a^2
| - c^2
| × (-1)
also:
a^2 = c^2 - b^2 + 2abcos(gamma)
Das widerspricht ja eigentlich der Herleitung, weil da heißt es ja:
a^2 = c^2 - b^2 - 2abcos(alpha)
Kann mir da jemand helfen? Schonmal vielen Dank im Voraus...
1 Antwort
Es gilt a² = b² + c² - 2*b*c*cos(α)
Ausserdem gilt nicht zwingend α=γ.
Ist also kein Widerspruch zu Deiner Umformung.
Die beiden Gleichungen
a² = b² + c² - 2bc * cos(α)
Zur Nachfrage:
Im Dreieck gilt allgemein für γ:
c² = a² + b² - 2ab * cos(γ)
a² + b² - c² = 2ab * cos(γ)
(a² + b² - c²)/(ab) = 2*cos(γ)
Im Dreieck gilt allgemein für α:
a² = b² + c² - 2bc * cos(α)
-a² + b² + c² = 2bc * cos(α)
(-a² + b² + c²)/(bc) = 2 * cos(α)
Es gilt also nicht zwingend cos(γ) = -cos(α)
Danke für die Antwort. Hätte nur noch eine Frage:
Wenn ich die beiden Gleichungen jetzt gleichsetze und umforme, würde ja gelten:
cos(gamma) = -cos(alpha)
Das würde dann ja heißen, dass die beiden Winkel supplementär zueinander sein müssten, wegen diesen Identitäten...
Aber es gibt ja auch Dreiecke, wo die beiden nicht supplementär sind.