Kann mir jemand helfen bei dieser Mathe Aufgabe?
Eine antike Pyramide hat die Ecken A (100|0|0), B(100|100|0), C(0|100|0), D (0|0|0) und die Spitze S (50|50|100). Aus der Seitenfläche BCS ragt als Teil einer Hebevorrichtung senkrecht ein Balken PQ heraus, dessen Mitte T auf einer vertikalen Stütze RT steht. Es gilt P(50 60|80) und Q (50|100|100).
a) Stellen Sie eine Parametergleichung der Ebe- ne E auf, welche B, C und S enthält.
b) Überprüfen Sie, ob der Punkt P tatsächlich auf der Seitenfläche BCS liegt.
c) Weisen Sie nach, dass der Balken PQ senk- recht auf BCS steht. Wie lang ist PQ?
d) Berechnen Sie die Länge der Stütze TR. Stellen Sie dazu die Gleichung der vertikalen Geraden g auf, die den Punkt T enthält. Berechnen Sie dann den Punkt R als Schnittpunkt der Geraden g mit der Fläche BCS.
e) Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Strecke BC. Bestimmen Sie dann den Winkel a = PQM zwischen den Strecken QP und QM.
f) Zeigen Sie, dass die Punkte U(40|40|80) und V (60|40|80) auf zwei Kanten der Pyramide liegen. Begründen Sie, dass das Viereck ADUV ein Trapez ist.
2 Antworten
Guten Abend, ich habe mir deinen Lösungsvorschlag angeschaut @gauss58. Ich kann alle deine Rechnungen nachvollziehen die sehr übersichtlich dargestellt sind. Vielen Dank dafür. Ich habe nur ein Problem entdeckt, bei dem ihr mir sicherlich weiterhelfen könnt.
Frage: Wie kommst du bei Aufgabe d auf den Punkt T (50│80│90)?
Er ist richtig, nur verstehe ich nicht wie du darauf gekommen bist.
Ich hoffe auf eine Antwort für mein Problem, da ich es unbedingt verstehen will. :)
Beste Grüße und einen schönen Abend!
Vielen Dank für deine Antwort. Jetzt wo ich die Lösung sehe ergibt das Sinn. Eine einfache Mittelpunktberechnung... hätte ich mir eine Skizze gemacht wäre das ersichtlich gewesen... Danke für das schnelle Antworten.
Lösungsskizze:
zu a)
Parametergleichung der Ebene, die die Punkte B, C und S enthält:
E: B + r * (C – B) + s * (S – B)
E: (100│100│0) + r * (-100│0│0) + s * (-50│-50│100)
zu b)
Prüfung, ob P auf der Ebene liegt:
(100│100│0) + r * (-100│0│0) + s * (-50│-50│100) = (50│60│80)
(1) 100 – 100 * r – 50 * s = 50
(2) 100 - 50 * s = 60
(3) 100 * s = 80
s = 4 / 5
r = 1 / 10
Es gibt keinen Widerspruch. P liegt auf der Ebene.
zu c)
Mittels Kreuzprodukt Orthogonale zu Ebene BCS bestimmen:
n = (-100│0│0) * (-50│-50│100)
n = (0 * 100 – 0 * (-50) │0 * (-50) - (-100) * 100│(-100) * (-50) – 0 * (-50))
n = (0│10000│5000)
Ist diese Orthogonale parallel zur Geraden PQ:
g: PQ = (50│60│80) + r * (0│40│20)
Prüfung auf Parallelität:
(0│10000│5000) = k * (0│40│20)
k = 250
PQ liegt orthogonal zur Ebene BCS
│PQ│ = √((50 – 50)² + (100 – 60)² + (100 – 80)²) = 44,721...
zu d)
T (50│80│90)
vertikale Gerade durch T:
g: (x│y│z) = (50│80│90) + r * (0│0│100)
Schnittpunkt vertikale Gerade - Ebene BCS führt zu:
R (50│80│40)
│TR│ = 50
zu e)
M (50│100│0)
QP = (50│100│100) + r * (0│-40│-20)
QM = (50│100│100) + s * (0│0│-100)
cos(α) = (0 * 0 + (-40) * 0 + (-20) * (-100)) / (√(0² + (-40)² + (-20)²) * √(0² + 0² + (-100)²)
cos(α) = 2000 / (√(2000) * 100)
cos(α) = 0,44721...
α = Winkel PQM = 63,435°
zu f)
g: AS = (100│0│0) + r * (-50│50│100)
(100│0│0) + r * (-50│50│100) = (60│40│80)
r = 4 / 5 (ohne Widerspruch)
V liegt auf AS
g: DS = (0│0│0) + s * (50│50│100)
(0│0│0) + s * (50│50│100) = (40│40│80)
s = 4 / 5 (ohne Widerspruch)
U liegt auf DS
Wenn ADUV ein Trapez ist, dann ist AD parallel VU
Parallelität prüfen!
Hinweis: AD und VU sind parallel.
Punkt T liegt genau in der Mitte des Balkens mit den Endpunkten P (50│60│80) und Q (50│100│100).
(50 + 50) / 2 = 50
(60 + 100) / 2 = 80
(80 + 100) / 2 = 90
Folglich hat T die Koordinaten T (50│80│90).