Mathe: Punkt inmitten einer quadratischen Pyramide, der den gleichen Abstand zu allen Seiten hat.
Hallo, ich knacke hier schon seit 2 Stunden an einer kniffligen Aufgabe. Zur Info: Ich bin im Mathe LK und Mathe macht mir Spaß. Ihr sollt beim beantworten also nicht meine Hausaufgaben erledigen, sondern mir nur beim Lösen helfen. Es ist nämlich nicht so, dass mir Mathe kein Spaß macht, sondern das tut es :-) Die Pyramide ABCD hat die Eckpunkte A(6/0/0); B(0/6/0); C(-6/0/0); D(0/-6/0); S(0/0/12). Der Mittelpunkt der Grundfläche liegt also bei M(0/0/0). Die Aufgabe lautet nun, man solle den Punkt P finden, der zu allen Seiten den gleichen Abstand hat. Ich bin jetzt so vorgegangen, dass ich für die Grundfläche die Ebene E1:x=(6/0/0) + s(-6/6/0) + t(-6/-6/0) aufgestellt habe. Da die Pyramide ja quadratisch ist, müsste der Punkt ja in der Mitte der Pyramide liegen, irgendwo auf der Gerade g:x=(0/0/0) + w(0/0/1). Für eine Seitenfläche hab ich die Ebene E2:x=(6/0/0) + u(-6/6/0) + v(-6/0/12) aufgestellt.
Ich hatte mir das alles schonmal visualisiert, aber ich komm einfach nicht weiter, da wir bis jetzt auch nur Abstände zwischen zwei Ebenen oder einer Ebenen und einer Geraden und so gemacht hatten und noch nicht den Abstand zwischen zwei Ebenen und einem Punkt.
Hoffe, jemand kann mir helfen. Bin am verzweifeln!
4 Antworten
Hi, der Punkt, den du sucht liegt irgendwo auf (0/0/x). Du musst jetzt die Gerade bestimmen, die durch diesen Punkt und der Spitze geht. Danach bestimmst du die Ebenengleichungen von den Ebenen der Seitenflächen (am besten in Koordinatenform). Bestimme dann den Abstand der Ebenen zu der Gerade. Das kannst du mit der HNF machen. Oder mit dem Lotfußpunkt verfahren wenn ich mich recht erinnere.
Bei Denkfehler darf gerne korrigiert werden! Viel spaß beim lösen
(Dein Koordinatensystem sei ein xyz-System.) Ich kann deinen und KDWalthers Ansatz nachvollziehen, aber nicht KDWalthers Ergebnis. Schon rein von der Vorstellung her (ich habe keine Technik zur Visualisierung) ist der Punkt (0 | 0 | 6) weniger weit von einer Seitenfläche entfernt als von der Grundfläche.
Jeder Punkt der z-Achse hat zu allen Seitenflächen den gleichen Abstand. Also reicht hin, dass der gesuchte Punkt zu einer Seitenfläche und der Grundfläche den gleichen Abstand hat.
Mit dem Kreuzprodukt der Vektoren AS und BS ist ein Einheits-Normalenvektor der Ebene ABS
(2 2 1) / √5,
mithin eine Hesse'sche Normalenform (mit Punkt S ∈ ABS)
(2 2 1)x / √5 - 12 / √5 = 0
Mit KDWalthers Ansatz ausgeführt als Einsetzen des Punktes x = (0 0 w) in die l.S. der Hesseschen Normalenform:
w / √5 - 12 / √5 = ± w;
doppeltes Vorzeichen, weil der Normalenvektor auch von der z-Achse weg weisen kann; das ist auch der Fall, denn nur für das negative w auf der r S. liegt der Punkt im Inneren der Pyramide:
w = 3 (√(5)-1) = - 6 Ψ ≈ 3,7
( Ψ ist die zweite Lösung der quadratischen Gleichung x² = x +1, die die "goldene Zahl",Φ = (√5 +1)/2, die Maßzahl des Goldenen Schnitts, definiert).
Also 3D gedöns haben wir noch nicht gemacht, aber ich denke was Mathe angeht, sind wir auf der selben Wellenlänge und das währe ja mal eine Herrausforderung.
Also mir fehlt irgendwie die Höhe der Pyramide. Soll das S sein ?
Dann könnstest du die Seiten bestimmen, und wenn die auch jew. 6 lang sind liegt der Punkt in der mitte der Grundfläche, und 6 nach oben (also die halbe höhe [12/2=6]) verschoben.
Ich rechne mal ein bisschen rum, villeicht komme ich ja drauf ;)
Schnittpunkt :) wenn ihr das noch nicht gemacht hab google mal nach :)
Schnittpunkte haben wir gemacht. Der Schnittpunkt wovon? Muss ich noch eine Gerade "durch" E2 aufstellen, die den Normalenvektor von E2 enthält und dann den Schnittpunkt von der Gerade mit der Gerade, die ich oben schon genannt hab?
Hat der Vektor (2 2 1) nicht die Länge 3?! WURZEL(2² + 2² + 1²) = 3
Deiner Anschauung gebe ich recht, sie entspricht auch meiner :-)
Habe gerade alles noch mal durchgerechnet. Tippfehler? Die richtige Lösung ist w = 3. Das passt mit der Anschauung gleich viel besser. w = -6 scheidet weiterhin aus.
Nun nähern sich unsere Lösungen an!