Wie groß ist der Neigungswinkel der Seitenfläche und Seitenkante gegen der Grundfläche?
Die Mantelfläche einer geraden, quadratischen Pyramide ist doppelt so groß wie ihre Grundfläche. Wie groß ist der Neigungswinkel der Seitenfläche und der Seitenkante gegen die Grundfläche?
2 Antworten
Mantelfläche: 4*a*ha*1/2 = 2*a*ha
Grundfläche: a*a
Es gilt Mantelfläche = 2*Grundfläche
2*a*ha = 2*a*a
Daraus folgt ha = a
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Der Winkel alpha liegt in einem rechtwinkeligen Dreieck mit den drei Seiten ha,a/2 und h (h = Höhe der Pyramide). Im rechtwinkeligen Dreieck gilt
hs^2 = (a/2)^2 + h^2
a^2 = (a/2)^2 + h^2
h = wurzel ( a^2 - (a/2)^2 ) = wurzel ( a^2 - a^2/4 ) = a*wurzel(3/4)
Für den Winkel alpha gilt somit
tan(alpha) = h / (a/2) = 2*h/a = 2*a*wurzel(3/4)/a = 2*wurzel(3/4)
alpha = 60 Grad
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Der Winkel beta liegt in einem rechtwinkeligen Dreieck mit den drei Seiten s,d/2 und h. Im rechtwinkeligen Dreieck gilt
tan(beta) = h/(d/2) = 2*h/d
mit d = Diagonale des Quadrats d, hier gilt
d^2 = a^2+a^2
d = a*wurzel(2)
tan(beta) = 2*a*wurzel(3/4)/d = 2*a*wurzel(3/4) / a*wurzel(2)
tan(beta) = 2*a*wurzel(3/4) / a*wurzel(2) = 2*wurzel(3/4) / wurzel(2)
beta ~ 50.77 Grad
Einstieg:
h_a = Höhe der Seitenfläche
Mantelfläche: M = 2 * a * h_a
Grundfläche: G = a²
2 * a² = 2 * a * h_a
a = h_a
Jetzt berechnest Du mittels Pythagoras den halben Durchmesser d / 2 der Grundfläche, die Seitenkante s und die Körperhöhe h, um anschließend jeweils mit dem Tangens die beiden gesuchten Winkel zu bestimmen.