Kann mir jemand bei einer Mathe Aufgabe helfen?

Ich hab zwar das lösungsheft aber ich versteh Aufgabe 7 trotzdem nicht

Answer 1

[mihisu]

Für zwei Ereignisse E₁ und E₂ gilt allgemein...

$P\left(E_1\cup E_2\right)=P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)-P\left(E_1\cap E_2\right)$

Im konkreten Fall ist die Schnittmenge leer: E₁ ∩ E₂ = {}
Dementsprechend ist die Wahrscheinlichkeit für diese Schnittmenge gleich 0.

$P\left(E_1\cup E_2\right)=P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)-\underbrace{P\left(E_1\cap E_2\right)}_{=0}=P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)$

Wenn man das nun entsprechend auf die gegebenen drei Gleichungen...

$P\left(E_1\cup E_2\right)=0\text{,}4$

$P\left(E_2\cup E_3\right)=0\text{,}9$

$P\left(E_1\cup E_3\right)=0\text{,}7$

... anwendet, erhält man:

$\begin{array}{rl}\left[\text{I}\right]: & P\left(E_1\right)+P\left(E_2\right)=0\text{,}4\\\left[\text{II}\right]: & P\left(E_2\right)+P\left(E_3\right)=0\text{,}9\\\left[\text{III}\right]: & P\left(E_1\right)+P\left(E_3\right)=0\text{,}7\end{array}$

Das ist nun ein lineares Gleichungssystem mit den 3 Unbekannten P(E₁) und P(E₂) und P(E₃), welches man lösen kann. Dazu kann man beispielsweise zunächst einmal die Gleichung [III] nach P(E₃) auflösen...

$\left[\text{III}_\text{b}\right] :\quad P\left(E_3\right)=0\text{,}7-P\left(E_1\right)$

... und in die Gleichung [II] einsetzen...

$\left[\text{II}_\text{b}\right] :\quad P\left(E_2\right)+0\text{,}7-P\left(E_1\right)=0\text{,}9$

Diese Gleichung kann man dann nach P(E₂) auflösen...

$\left[\text{II}_\text{c}\right] :\quad P\left(E_2\right)=0\text{,}2+P\left(E_1\right)$

... und in die Gleichung [I] einsetzen...

$\left[\text{I}_\text{b}\right] :\quad P\left(E_1\right)+0\text{,}2+P\left(E_1\right)=0\text{,}4$

Diese Gleichung enthält dann nur noch eine einzige Unbekannte, nämlich P(E₁), nach der man auflösen kann...

$\left[\text{I}_\text{c}\right] :\quad P\left(E_1\right)=0\text{,}1$

Diesen Wert kann man dann noch in die bereits nach P(E₂) bzw. P(E₃) aufgelösten Gleichungen [II_c] bzw. [III_b] einsetzen...

$\left[\text{II}_\text{d}\right]:\quad P(E_2)=0\text{,}2+0\text{,}1=0\text{,}3$

$\left[\text{III}_\text{c}\right]:\quad P(E_3)=0\text{,}7-0\text{,}1=0\text{,}6$

Ergebnis:

$P(E_1)=0\text{,}1$

$P(E_2)=0\text{,}3$

$P(E_3)=0\text{,}6$

Comments

[EdCent]

Hallo,

wenn man die drei Gleichungen I, II und III addiert erhält man 2(P(E1)+P(E2)+P(E3))=2.

Durch 2 dividieren ergibt, dass die Summe der drei Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist.

Answer 2

[EdCent]

Hallo,

Additionssatz:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\ P(A\cap B)=0\Rightarrow P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ Also:

$P(E _3 )=1−P(E _1 \cup E _2 )=1−0,4=0,6$ Die anderen gehen entsprechend.

🤓

Woher ich das weiß: Berufserfahrung – Unterricht am Gymnasium

Comments

[Jessica577]

Wieso darf ich mir hier aber E3 rausgreifen ?

[EdCent]

@Jessica577

Da die Schnittmengen alle leer sind, gilt

P(E1)+P(E2)+P(E3)=1

P(E3)=1-(P(E1)+P(E2))

[mihisu]

@EdCent

Es ist doch nirgends in der Aufgabenstellung erwähnt, dass die Ereignisse E₁, E₂, E₃ zusammen die gesamte Ergebnismenge abdecken sollen.

Das ist zwar hier zufälligerweise der Fall. Aber, dass das hier tatsächlich der Fall ist, müsste man erst zeigen.

[mihisu]

@mihisu

Wenn die Aufgabenstellung stattdessen beispielsweise mit den Gleichungen...

P(E₁ ∪ E₂) = 0,4
P(E₂ ∪ E₃) = 0,8
P(E₁ ∪ E₃) = 0,6

... gegeben wäre (und sonst gleich lauten würde), so wäre das nämlich falsch. Dann wäre stattdessen...

P(E₁) + P(E₂) + P(E₃) = 0,9 ≠ 1

[EdCent]

@mihisu

Stimmt. Das habe ich im Kopf gemacht, habe es aber nicht aufgeschrieben.