Kann man e^x von e^2x subtrahieren?

Hallo,

bei Potenzen gilt ja, dass jene nur subtrahiert oder addiert werden können, wenn die die gleiche Basis und den gleichen Exponenten haben. Dementsprechend würde das ja eigentlich nicht gehen, aber in den Lösungen steht e^-x, doch das kann ja eigentlich für e^x-e^2x nicht sein, oder?

Answer 1

[SlowPhil]

Kann man e^x von e^2x subtrahieren?…bei Potenzen gilt ja, dass jene nur subtrahiert oder addiert werden können, wenn die die gleiche Basis und den gleichen Exponenten haben.

Die Aussage hat zwar nichts mit Tennis zu tun, enthält aber einen "Doppelfehler":

1. Addieren und subtrahieren kann man natürlich alle Reellen Zahlen. Mit der Frage meinst Du natürlich, ob man da Potenzgesetze ausnutzen kann, um den Ausdruck zu vereinfachen kann.
2. Die Potenzgesetze beziehen sich nicht auf Addition und Subtraktion, sondern auf Multiplikation und Division und auch die Potenzierung. Addiert bzw. subtrahiert werden dabei die Exponenten. 

Ein kleiner Fehler ist noch, dass die Potenzen nicht die gleiche Basis und den gleichen Exponenten haben müssen (dann wären sie ja gleich), sondern oder, für jeden Fall gibt es eigene Potenzgesetze:

Gleicher Exponent x, unterschiedliche Basen:

(1.1) a^{x}·b^{x} = (a·b)^{x}
(1.2) a^{x}/b^{x} = (a/b)^{x}

Unterschiedliche Exponenten, gleiche Basis:

(2.1) a^{x}·a^{y} = a^{x + y}
(2.2) a^{x}/a^{y} = a^{x – y}

Potenzierung einer Potenz:

(3) (a^{x})^{y} = a^{x·y}

Das bietet mit Hilfe des Logarithmus (Umkehrung des Exponentials von x, also der Potenzierung einer Basis mit x) die Möglichkeit, eine Potenz in eine andere Basis zu schreiben:

(4) a^{x} = b^{(log[b](a))·x} = b^{(ln(a)/ln(b))·x}

Hyperbelfunktionen

Es gibt allerdings Funktionen, die sich additiv bzw. subtraktiv aus Exponentialfunktionen zusammensetzen, nämlich die sog. Hyperbelfunktionen. Sie haben algebraische Ähnlichkeiten mit trigonometrischen Funktionen sowie eine geometrische Deutung und heißen deshalb ähnlich:

(5.1) cosh(x) := ½(e^{x} + e^{–x})
(5.2) sinh(x) := ½(e^{x} – e^{–x})

Damit lässt sich Dein Beispiel umschreiben:

(6) e^{2x} – e^{x} = e^{x}(e^{x} – 1) = e^{3x/2}·(e^{x/2} – e^{–x/2})
                                                        = e^{3x/2}·2·sinh(x/2)

… aber in den Lösungen steht e^-x

Dann ist e^{x}/e^{2x} gemeint. Durch, nicht Minus.

Answer 2

[PhotonX]

Vielleicht meinst du e^x*e^(-2x) ? Das wäre tatsächlich e^-x. e^x und e^2x lassen sich tatsächlich nicht miteinander verrechnen!

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Masterabschluss Theoretische Physik

Answer 3

[Willibergi]

Nein, das geht nicht und e^x - e^(2x) = e^-x stimmt auch nicht.

Du kannst höchstens ausklammern:

e^x - e^(2x) = e^x - (e^x)^2 = e^x * (1 - e^x)

Mehr geht da aber nicht.

LG Willibergi

Answer 4

[densch92]

nö. aber ausklammern kannste.

denn es ist

e^-e^(2x)

=e^x-(e^x)^2

=e^x*(1-e^x)

Answer 5

[Ellejolka]

nee, geht nicht;

aber

e^x / e^2x = e^-x