Ist es nicht komisch, dass das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen einer Kugel davon abhängt, wie groß sie ist?
Es bleibt doch das gleiche "Ding".
7 Antworten
Vielleicht kannst du es dir intuitiv mit Lego Steinen vorstellen. Sagen wir mal du baust einen 2x2 Lego Block. Dann befinden sich alle 8 Steine an der Oberfläche des Würfels.
Wenn du aber einen 3x3 Lego Block machst, dann befinden sich nicht mehr alle 9 Blöcke an der Oberfläche, sondern nurnoch 8, weil einer in der mitte ist.
Und je größer du deinen Lego Block machst desto mehr passen da in die Mitte rein.
Hoffe das hilft, sich das besser vorzustellen
Die Oberfläche einer Kugel wächst nur im Quadrat zum Radius, das Volumen hingegen im Kubik. Das ist nicht nur bei der Kugel, sondern generell bei allen (dreidimensionalen) Körpern, dass das Volumen und damit auch das Gewicht im Kubik und die (zweidimensionale) Oberfläche nur im Quadrat zu den einzelnen entsprechenden (eindimensionalen) Längenmaßen zunimmt.
Nein, das ist nicht komisch. Es ist sogar logisch. Die Oberfläche einer Kugel ist eine Oberfläche, die sich aus einer unendlich großen Anzahl von Kreisen zusammensetzt. Der Umfang eines Kreises ist proportional zu seinem Radius. Das bedeutet, dass die Oberfläche einer Kugel proportional zum Radius zum Quadrat ist.
Das Volumen einer Kugel ist proportional zum Radius zum Kubik. Das bedeutet, dass das Volumen einer Kugel mit dem Radius wächst, schneller als die Oberfläche.
Wenn man also eine Kugel mit einem größeren Radius nimmt, hat sie zwar eine größere Oberfläche, aber ihr Volumen wächst noch schneller. Das führt zu einem niedrigeren Verhältnis von Oberfläche zu Volumen.
Ein Beispiel:
Eine Kugel mit einem Radius von 1 cm hat eine Oberfläche von 4π cm² und ein Volumen von 4/3π cm³.
Eine Kugel mit einem Radius von 2 cm hat eine Oberfläche von 16π cm² und ein Volumen von 8/3π cm³.
Das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen für die erste Kugel beträgt 4π / (4/3π) = 3.
Das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen für die zweite Kugel beträgt 16π / (8/3π) = 9/2.
Wie man sieht, ist das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen für die zweite Kugel geringer als für die erste Kugel.
Dieser Effekt ist wichtig für die Physik und die Biologie. Er erklärt, warum kleine Tiere eine größere Oberfläche pro Volumen haben als große Tiere. Die größere Oberfläche ermöglicht es ihnen, mehr Wärme abzugeben und mehr Sauerstoff aufzunehmen.
Es ist also nicht komisch, dass das Verhältnis von Oberfläche zu Volumen einer Kugel davon abhängt, wie groß sie ist. Es ist ein logischer Effekt, der in der Natur zu finden ist.
Eigentlich ist das nicht seltsam, denn die beiden Werte wachsen nach unterschiedlichen Aspekten. Schon allein deswegen, weil das eine ein dreidimensionales Objekt ist, und das andere nur ein zweidimensionales Objekt.
Formeln sind:
Abhängig vom Radius, der bei der Oberfläche nur in zwei Richtungen/Dimensionen etwas aufspannt (r²), ist es beim Volumen in drei Richtungen/Dimensionen (r³). Der Radius wirkt sich also deutlich stärker auf das Volumen aus, als auf die Oberfläche.
Bei anderen Formen, die extrem wellige, oder gefaltete Oberflächen besitzen, ist das dann anders, da der Radius nicht der absolut ausschlaggebende Teil der Formel ist.
Das beste Beispiel dafür wäre deine Lunge. Wenn du dein Lungenvolumen verdoppelst, wächst die Lungenoberfläche um ein vielfaches dessen an.
Es bleibt doch das gleiche "Ding".
Bleibt es nicht. Volumen wächst mit der dritten Potenz des Radius, Oberfläche nur mit dem Quadrat.