Bleibt das Volumeb eines Kegels gleich, wenn der Radius der Grundfläche verdoppelt wird und dafür die Mantellinie halbiert?
Kann mir einer bitte erklären ob diese Aussage wahr oder falsch ist und wie man zur Erkenntnis kommt:
Wird bei einem Kegel der Radius der Grundfläche verdoppelt und dafür die Mantellinie halbiert, so bleibt das Volumen gleich.
Lg
4 Antworten
Nein, weil r quadratisch in die Formel eingeht, h dagegen linear.
r verdoppeln bedeutet 2 hoch 2; also vervierfachen.
h halbieren ist linear. In deinem Beispiel müsste das Volumen also hinterher doppelt so groß sein.
Mal 4 geteilt durch 2 macht unterm Strich mal 2.
Klar.
Bei sehr vielen Kegeln ist es aber überhaupt nicht möglich, den Grundkreisradius zu verdoppeln und gleichzeitig die Länge der Mantellinien zu halbieren.
(Mantellinie m muss stets länger sein als Grundkreisradius r. Wenn also etwa r=1 und m<4 , wäre nach der "Verwandlung" r=2 und m<2, was gar nicht geht)
Natürlich! Ich hatte Mittellinie (=h) gelesen. Die könnte man immer halbieren. Die Mantellinie muss natürlich immer größer als der Radius sein.
Die Aussage ist falsch. Es ist V=1/3 r^2*Pi*h mit h=Wurzel(m^2-r^2). Bei Verdoppelung von r und Halbierung von m erhätst du definitiv ein anderes Volumen.
Die Verdoppellung des Radius vervierfacht die Grundfläche. Halbierung der Mantellinie mag eventuell gar nicht möglich sein. Damit das geht, muss der Ausgangskegel sehr spitz sein. Im Extremfall hat der Kegel mit der halbierten Mantellinie Höhe 0
Die Mantellinie s steht so im Verhältnis zu r und ! h
s² = r² + h²
.
Man kann h in der V-Formel durch s und r ersetzen h = wurz(s² - r²)
.
1/3 und pi lasse ich weg
.
V = r² * wurz(s² - r²) =
w(r^4 * ( s² - r² ) ) =
w(r^4*s² - r^6) ...........ohne Verdopplung
Nun verdoppeln wir r und halbieren s
.
V = w( (2r)^4 * (s/2)² - (2r)^6 )
V = w( 16r^4 * s²/4 - 64r^6)
V = w( 4r^4 * s² - 64r^6 ).......................mit Verdopplung
Nun muss man prüfen, ob die V gleich sind
r^4*s² - r^6 ? = ? 4r^4 * s² - 64r^6
Ist H nicht die Höhe und die Mantellinie nicht dasselbe wie die höhe?