Ist es möglich, unlösbare Gleichungen schnell zu erkennen (Beispiel mit PQ-Formel)?
Beim Lösen quadratischer Gleichungen stößt man manchmal auf Widersprüche, z.B. eine negative Diskriminante in der PQ-Lösungsformel. Rechnet man etwa die Nullstellen der Funktion f(x) = x^2 -4x +7 aus, ist im reellen Zahlenbereich spätestens ab 2 +/- sqrt(-3) Schluss.
Gibt es ein zuverlässiges Verfahren, welches solche unlösbaren Funktionen schnell enttarnt, das mühselige Ausrechnen erspart und auf alle Funktionen anwendbar ist?
4 Antworten
Sinnvoll wäre für mich nur die Betrachtung des Graphen. Ansonsten kannst du es nur während der Berechnung merken.
Es kommt dabei immer zu einem Widerspruch, wenn eine Nullstelle gar nicht vorhanden ist.
Bei quadratischen Funktionen gibt es da auch nur drei, wenn man es genau nimmt 3 Fälle, die sich aber zu zwei Fällen zusammenfassen lassen.
► Fall 1:
Es gibt 2 Lösungen und somit 2 Nullstellen. Das ist der Fall, wenn die Diskriminante positiv ist.
► Fall 2:
Es gibt nur eine Lösung. Bei einer Parabel heißt das dann, dass der Scheitelpunkt die Nullstelle ist. Das wiederum stellt dann aber eine doppelte Nullstelle dar. Dies tritt auf, wenn die Diskriminante den Wert null hat.
► Fall 3:
Es gibt keine Lösungen. Die Parabel berührt die x-Achse gar nicht, sodass es keine Nullstellen gibt. Hier ist die Diskriminante negativ, sodass man eben keine reelle Zahl bekommt.
Je nach Form der quadratischen Funktion (Normalform, Scheitelpunktform...) kannst du dir den Graphen vorstellen oder auch zeichnen lassen. Bei der Scheitelpunktform kannst du die Transformation genau und direkt ablesen. Da siehst du ganz schnell, ob die Funktion Nullstellen hat.
► f(x) = a(x-d)² + e
Ist das a negativ, dann ist die Parabel nach unten geöffnet. Wäre sie dann noch nach unten verschoben, dann hätte sie auch keine Nullstellen.
Das e gibt die Verschiebung entlang der y-Achse an.
Für a>0 und e>0 oder a<0 und e<0 gilt also: Es gibt keine Nullstellen.
Für e=0 gilt: Es gibt eine doppelte Nullstelle.
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Liebe Grüße
TechnikSpezi
bei einer quadratischen Funktion kann man erst mal den Scheitelpunkt suchen (also 1. Ableitung bilden, diese = 0 setzen und dann den dazugehörigen Funktionswert ausrechnen).
Abhängig vom Vorzeichen des " x^2 " hat man dann eine solide Vorstellung davon, ob die Funktion überhaupt eine Nullstelle haben kann. Die Rechenschritte sind simpel - aber ob diese Strategie in der Anwendung "schneller" oder "einfacher" als die simple pq-Formel ist, sei jedem selber überlassen - m.E. ist die pq-Formel so kurz und knackig (und klappt immer), dass sie bei quadratischen Funktionen wohl "besser" ist.
Bei Funktionen höherer Ordnung mag das dagegen anders aussehen, da liefert ein Sammelsurium von Inputs über Wende- und Extremstellen schneller eine Vorstellung dazu, wo in etwa Nullstellen zu erwarten sind.
Richtig. Aber ist das wirklich schneller, als einfach die Zahl vor dem x (p) zu halbieren und anschließend zu quadrieren und zu prüfen, ob sie kleiner, größer oder gleich der Zahl ohne x (q) ist?
(-4/2)²<7, also gibt es keine reelle Lösung; das sieht man doch sofort.
Herzliche Grüße,
Willy
siehe "Lösbarkeitsregeln" im Mathe-Formelbuch ,"quadratische Gleichung"
Normalform 0=x²+p*x+q bei dir p=-4 und q=7
Dikriminate D=(p/2)^2-q eingesetzt D=(-4/2)^2-7=4-7=-3 <0 also D<0
D>0 zwei "reelle Lösungen" Schnittstellen mit der x-Achse
D=0 zwei gleiche "reelle Lösungen"
D<0 zwei "konjugiert komplexe Lösungen" siehe "komplexe Zahlen" im Mathe-Formelbuch
allgemeine Form der Parabel y=f(x)=a2*x²+a1*x+ao
a2>0 Parabel nach oben offen,"Minimum" vorhanden
a2<0 " unten offen "Maximum" vorhanden
Scheitelkoordinaten bei xs=-(a1)/(2*a2) und ys=-(a1)²/(4*a2)+ao
Scheitelpunktform y=f(x)=a2*(x-xs)²+ys
keine "reellen Lösungen" wenn a2>0 und ys>0 Parabel liegt oberhalb der x-Achse
oder a2<0 und ys<0 Parabel liegt unterhalb der x-Achse
Was den 2. Grad angeht, kannst du die Diskriminate p²/4 - q ausrechnen, bevor du mit der Lösung der Nullstellen beginnst. Die Diskriminante kannst du dann gleich in die Lösung hineinnehmen, dann hast du keine Arbeit vergeblich gemacht, im Gegenteil. Denn wenn eine Voraussetzung existiert, dass nur reelle Lösungen gültig sein sollen, bist du sofort fertig.
Das ist bei höheren Funktionsgraden leider nicht mehr möglich.
Immerhin kannst du davon ausgehen, dass (in der Schule als Aufgabe gestellte) Funktionen 3. Grades gewöhnlich mindestens eine reelle Nullstelle haben müssen, denn irgendwo muss die Kurve ja durch die x-Achse hindurch.
(Hoffentlich bekommt ihr nun nicht doch in der nächsten Woche eine komplett imaginäre wie f(x) = i x². Das ist aber wirklich selten.)
Analog andere Kurven mit ungeradem Rang.
Bei Kurven 4. Grades, die substituiert werden können, ist dafür auch leicht eine Diskriminante herzustellen.
(Hoffentlich bekommt ihr nun nicht doch in der nächsten Woche eine komplett imaginäre wie f(x) = i x². Das ist aber wirklich selten.)
Komplexe Zahlen sind nicht Schulstoff. Trotzdem haben Schüler bei Mathematik oft Komplexe...
Direkt bezogen auf mein Beispiel könnte man ja locker die erste Ableitung im Kopf bilden (2x-4). Null setzen ist auch noch drin, x = 2. f(2) = 4 - 8 + 7 = 3. S(2|3) wurde bestimmt.
Der Graph schwebt also über der x-Achse und hat folglich keine Nullstellen.