Frage von Astroknoedel2, 47

Ist die Riemannsche Vermutung nur numerisch/computertechnisch lösbar?

Hallo allerseits,

ich weiß noch nicht ganz, welche Fortschritte es bei der Lösung der Riemannschen Vermutung gibt. Ich hatte mal einen angeblichen Beweis von einem nigerianischen Mathematiker vorgelegt bekommen, der jedoch (nicht nur meiner Meinung nach) absolut nicht überzeugte.

Nun möchte ich von euch gerne wissen, wie nach neuen Methoden und Beweisen gesucht wird. Kann man die RV computertechnisch bzw. numerisch lösen, (wenn ja, wie ?) oder existieren andere Methoden aus der Funktionentheorie oder Zahlentheorie, mit denen gerade gearbeitet wird ?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von hypergerd, Community-Experte für Mathematik, 7

Auch diese Frage hatten wir hier schon mehrfach:

https://www.gutefrage.net/frage/primzahlen-in-der-forschung

In der Doku geht es auch um 

https://de.wikipedia.org/wiki/Louis_de_Branges_de_Bourcia

Seit 1998 kündigte er schon mehrfach Beweise an, ABER:

- die ersten waren wirklich fehlerhaft

- spätere (insges. 3) wurden von vielen anderen nicht ganz anerkannt

Und da sind wir auch schon beim Dilemma: das Thema ist so komplex, dass es nicht mal Wissenschaftler 100% genau verstehen (einige erlitten geistige Folgeschäden) oder sie arbeiten gegeneinander statt miteinander ...

Während de_Branges_de_Bourcia den Beweis per Theorie:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hilbertraum

versuchte, versuchen es andere (Gourdon and Patrick Demichel) numerisch: eine einzige (nichttriviale) Nullstelle, die im komplexen nicht mehr die Form

Zeta(0.5 + x * i) = 0

hat oder keine weiteren mehr kommen (bei sehr großem x) -> würde die Vermutung wiederlegen.

Unter

https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis

ist eine Liste über die Anzahl der Nullstellen.

Zwar hat man effektive Algorithmen für die Suche gefunden:

https://en.wikipedia.org/wiki/Odlyzko%E2%80%93Sch%C3%B6nhage_algorithm

aber mit der Berechnung extrem großer Zahlen (dann auch noch im komplexen) ist eine sehr fehleranfällige und lang dauernde Sache!

Unter 

http://numbers.computation.free.fr/Constants/Miscellaneous/zetazeros1e13-1e24.pd...

scheint sich bei Untersuchung der Lücken nichts auffälliges abzuzeichnen, dass keine Nullstellen mehr kommen könnten...

Aktuell: Das Clay Institut hat bisher Opeyemi Enochs Aufgabenlösung nicht anerkannt:
http://www.claymath.org/millennium-problems/riemann-hypothesis
sagt: This problem is: Unsolved

Antwort
von Rowal, 15

Nein. Außerdem hat es schon seit mehr als 100 Jahren keine Fortschritte mehr gegeben. Ende des 19. Jahrhunderts wurde bewiesen (Hadamard und Poussin), dass die Zetafunktion in einem Bereich zwischen der Geraden x=1 (inklusive) und einer Kurve, die sich von links asymptotisch der Geraden  x=1 nähert (für y gegen unendlich), nullstellenfrei ist.

Ein echter Fortschritt wäre, wenn es Hinweise dafür gäbe, dass die Zetafunktion in einem Streifen von x = 1 - epsilon bis x = 1 nullstellenfrei wäre für ein beiliebig kleines positives epsilon. Aber sowas liegt in unerreichbarer Ferne. Es gibt zwar eine Reihe von Funktionalgleichungen für die Zetafunktion, doch sind diese nicht zielführend.

Es ist dies ein Beispiel dafür, dass der menschliche Verstand bei schwierigen Problemen - und die Erforschung der Nullstellen der Zetafunktion im kritischen Steifen zwischen 0 und 1 ist sogar extrem schwierig - schnell an seine Grenzen stößt.

Die Versuche, die ich gesehen habe, beruhen darauf, Formeln aufzustellen, in denen die Zetafunktion vorkommt, und hieraus Schlüsse über die Nullstellen zu ziehen. Auf diese Weise findet man ja auch sehr leicht die trivialen Nullstellen der Zetafunktion bei den geraden negativen Zahlen.

Kommentar von Astroknoedel2 ,

"
Es ist dies ein Beispiel dafür, dass der menschliche Verstand bei
schwierigen Problemen - und die Erforschung der Nullstellen der
Zetafunktion im kritischen Steifen zwischen 0 und 1 ist sogar extrem
schwierig - schnell an seine Grenzen stößt."

Hier setzt auch meine Frage an, glaubst du, dass es einem Computerprogramm möglich wäre, diese Nullsellen genauer zu erforschen ?

Kommentar von Rowal ,

Es gibt durchaus eine numerische Evidenz, dass die
Riemannsche Vermutung richtig ist. Bereits im Nachlass von Riemann hat man gefunden, dass er umfangreiche numerische Berechnungen durchgeführt hatte, so dass er seine Vermutung nicht leichtfertig ausgesprochen hatte. Mit Computerberechnungen konnte im Laufe der Zeit gezeigt werden, dass die erste Billion Nullstellen (oder mehr, den aktuellen Stand kenne ich nicht) auf der Geraden x=1/2 liegt (bezüglich des Imaginärteiles). Die Evidenz für die Gültigkeit der Riemannschen Vermutung ist also noch exorbitant gestiegen.

Doch darf man sich dadurch nicht täuschen lassen. Die numerische Betrachtung legt z.B. auch nahe, das stets  li(x) – π(x) > 0 gilt und die
Differenz immer größer wird. Dies gilt soweit man rechnen kann. Aber bereits Littlewood hat gezeigt, dass die Differenz sogar unendlich oft das Vorzeichen wechselt.

Mein verstorbener Zahlentherielehrer Prof. Richert aus Ulm hat sich sein Leben lang mit mit der analytischen Primzahltheorie beschäftigt,
und konnte mit raffinierten Anwendungen von Siebmethoden die bekannten Restglieder von zahlentheoretischen Funktionen (die Primzahlen betreffend) marginale Verbesserungen erzielen. Doch unter Annahme der Riemannschen Vermutungen wären mit einem Schlag weitaus bessere Restglieder zu erzielen. Kein Wunder, dass er an der Gültigkeit der Riemannschen Vermutung gezweifelt hat. Ich denke, man würde unter diesem Aspekt sogar vermuten, dass es unendlich viele Nullstellen gibt, deren Realteil sich asymptotisch der 1 nähert, wenn der Imaginärteil gegen unendlich geht.

Wie man also sieht ist, ist die Frage der Evidenz, ob die R. V. richtig ist, durchaus nicht klar zu beantworten. Es kommt hier auf den Standpunkt an, ob man sagt, dass man Billionen von Nullstellen gefunden hat, alle mit Realteil=1/2 oder ob man die Sache aus dem Blickwinkel der mühsam gefunden Restgliedabschätzungen betrachtet. Denn im letzteren Falle würde man sagen, dass man bei all den Bemühungen der klügsten Köpfe bereits deutliche Verbesserung erzielt hätte.

Das ist jedenfalls meine Meinung zu dem Thema.

Kommentar von Rowal ,

Nachtrag: Natürlich wäre es eine Sensation, wenn man mit Computerprogrammen eine Nullstelle finden würde, deren Realteil ungleich 1/2 ist. Das ist ein interessanter Aspeskt, dass mit Hilfe dieser Methoden neue Erkenntnisse erschlossen werden könnten. Findet man allerdings keine, sondern treibt nur die Anzahl der gefunden Nullstellen mit Realteil = 1/2 in die Höhe, so ist der Erkenntniswert eher gering.

Antwort
von gilgamesch4711, 23

  Ich besitze einen revolutionären Ansatz.  Um meinen Standpunkt zu verstehen, musst du dir allerdings das Lehrbuch " Non-Standard Analysis ( NSA ) " von Alain Robert bei Wiley besorgen ( die neueste Ausgabe bei Amazon ) Dieses erläutert dir die ( NSA ; IST ) von ===> Edward Nelson, wobei IST für die drei Axiome von Nelsons Teorie steht.

   Ich würde mich glücklich schätzen, könnte ich auch dich in unserer kleinen, aber feinen Fangemeinde begrüßen; gerne bin ich dein Nachhilfelehrer. An unsere " Klippen " brandet die Gischt der versammelten Feinde aus allen Gebieten der Matematik ...

Mein Ansatz;   du stellst dir einen " idealisierten " Prozessor vor, dessen größte darstellbare Zahl gleich Nonstandard n0 ist. Dieser Prozessor durchsucht nun sämtliche Nullstellen der Zetafunktion mit Imagteil < = n0 . Damit hast du aber auch automatisch alle Standardnullstellen identifiziert. Aus dem ===> Transferaxiom ergibt sich: Die RV ist schon dann bewiesen, wenn sie wahr ist bis n0. Hier nun stellt sich die Frage nach dem kürzest möglichen Assemblercode, der sie entscheidet.

   Für die Goldbachvermutung kannst du das übrigens ganz genau so machen; solche Aussagen sind im Gödelschen Sinne immer entscheidbar. Das ist das eminent Neue, was wir mit diesem Nelson gewonnen habben.

Kommentar von Astroknoedel2 ,

Hm, erinnert mich sehr an Alan Turing, der eine Maschine bauen woltle, die die Nullstellen der Zetafunktion durchrechnet und eine Widerlegung der Riemannschen vermutung findet.

Antwort
von gilgamesch4711, 16

  Zu deinem turingkommentar. Ist dir das Transferprinzip eigentlich klar? So bald du nämlich zugibst, dass du einen Prozessor bauen kannst mit jeder Wortlänge, egal wie groß n0, ist das eine richtige Überlegung. Physikalisch durchführbar ist es natürlich nicht; n0 liegt quasi " jenseits des Ereignishorizonts "

   Aber lies dir doch erst mal den Alain Robert durch; ich hab da so das unbestimmte Gefühl, aus meiner Idee lässt sich noch eine Menge machen.

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