Warum ist eine stetige, periodische Funktion auch beschränkt?

Wie zeigt man das formal?

Danke.

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Zu einer Folge, wo die Funktionswerte extrem werden sollen, kann man eine Folge innerhalb einer Periode mit den gleichen Funktionswerten wählen und davon kann man dann eine konvergente Teilfolge auswählen.

Also zu $\left(x_n\right)_{n\in\mathbb{N}} \text{ mit } \lim_{x \to \infty} |f(x_n)| = \sup_{x\in \mathbb{R}}| f(x)|$ kann man man  $\left(\tilde{x}_n\right) \text{ mit } f(x) = f(\tilde{x}) \text{ und } \tilde{x}_n \in [0, T]$ und mit der Kompaktheit dazu eine konvergente Teilfolge $\left(\tilde{x}_{n_k}\right)$ Der Grenzwert einer Teilfolge ist immer noch derselbe. Wegen der Stetigkeit kann man den Grenzwert in die Funktion reinziehen $\lim_{n\to \infty} |f(x_n)| = |f(\lim_{k \to \infty} \tilde{x}_{n_k})|$

Der Wert an einem Punkt ist endlich.

Wenn die Funktion unbeschränkt wäre müsste es zu jedem n eine Stelle innerhalb des Intervalls mit Periodenlänge geben, sodass der Funktionswert größer als n wäre.

Answer 2

[eterneladam]

Sei T die Periode, dann reicht es, die Funktion auf dem Intervall [0,T] zu betrachten. Jede stetige Funktion nimmt auf einem abgeschlossen Intervall ihr Maximum an, ist insbesondere beschränkt.

Answer 3

[Enzi1]

Ich würde es mit einem Widerspruch versuchen: sei die Funktion nicht beschränkt, dann müsste sie wegen periodizität f(x_1)=f(x_2) wieder denselben Funktionswert erreichen, da es aber nicht stetig möglich ist, wenn diese nicht beschränkt ist (läuft zwischen x_1 undx_2 gegen unendlich), muss die Funktion beschränkt sein.