Hey ich muss die De Broglie Wellenlänge berechnen. Könntet ihr gucken, ob ich es richtig gemacht habe?
2 Antworten
Hallo germanydublin,
Deine Ausführungen sind sehr akkurat, enthalten aber zwei wesentliche Fehler:
- Es fehlen Maßeinheiten. Das ist vor allem eine Quelle für weitere Fehler wie den zweiten:
- Unten schreibst Du 'h/(mₑ∙v)' und setzt dann aber den Zahlenwert von U für v ein, merkst das nicht, weil Du keine Einheiten benutzt und bekommst komplett falsche Resultate.
Natürlich kannst Du den Impuls p = mₑ∙v setzen, da wir uns im sog. NEWTON- Limes befinden (s.u.); dann musst Du v aber durch die kinetische Energie Eₖ ausdrücken:
(1.1) Eₖ = ½∙m∙v² <=> v = √{2∙Eₖ⁄m}.
Jetzt Eₖ = e∙U und m = mₑ einsetzen und vereinfachen, indem Du ein mₑ unter die Wurzel ziehst und wegkürzt:
(1.2) λ = h⁄p ≈ h⁄(mₑ∙v)
≈ h/(mₑ∙√{2∙e∙U⁄mₑ})
= h⁄√{2∙e∙U∙mₑ²⁄mₑ}
= h⁄√{2∙e∙U∙mₑ}.
Das hättest Du übrigens einfacher haben können, denn Eₖ lässt sich auch direkt durch p ausdrücken:
(1.3) Eₖ = p²/2m <=> p = √{2∙m∙Eₖ}.
Wieder einsetzen ergibt
(1.4) λ = h⁄p
≈ h⁄√{2∙e∙U∙mₑ}.
Ich setze U = 2 V ein. Für diesen Fall ist e∙U ≈ 3,2×10⁻¹⁹ J, und mit mₑ ≈ 9,1×10⁻³¹ kg, was zu
√{2∙mₑ∙U∙e} ≈ √{5,824×10⁻⁴⁹ J∙kg}
führt. Nun ist 1 J∙kg = 1 kg²m²⁄s², sodass die Einheiten schon mal stimmen.
An dieser Stelle überschlage ich gern grob, ehe ich mit TR rechne: Ich rechne auf gerade Zehnerpotenz um, also 5,8×10⁻⁴⁹ = 58×10⁻⁵⁰, und überlege mir, dass das zwischen 7² und 8² liegen muss, es ist etwas mehr als 7,5² = 56,25. So komme ich auf etwas mehr als 7,5×10⁻²⁵ = ¾×10⁻²⁴.
Da h ≈ 6,6×10⁻³⁴ Nms ist, ergibt sich etwas weniger als 8,8×10⁻¹⁰ m. "In der Gegend" muss daher auch die Wellenlänge liegen.
Die Grenzen des NEWTONschen ModellsDie obige Rechnung beruht auf der NEWTONschen Mechanik (NM) die sich spätestens 1905 als Näherung der Speziellen Relativitätstheorie (SRT) für einen speziellen Grenzfall, den NEWTON- Limes. Zweifellos kennst Du EINSTEINs berühmte Gleichung "E = mc²".
Übersetzt heißt das, dass Energie "was wiegt" respektive dass Masse im Grunde nichts als "kondensierte" Energie ist, die Ruheenergie.
(2) E₀ = mc²,
wie es eigentlich heißen müsste, wenn man unter m wirklich die Masse als feste Eigenschaft des Körpers/ Teilchens meint.
Der Faktor c², der Masse und Ruheenergie zu unterscheiden scheint, ist eine universelle Konstante wie c selbst und letztlich ein Artefakt des SI. Man kann problemlos Strecken in s (bzw., im Alltag, μs - 1 μs ≈ 300 m oder ns, 1 ns ≈ 30cm) angeben, dann "verschwindet" der Faktor bzw. wird 1, d.h., zwischen Ruheenergie und Masse besteht kein substantieller Unterschied, und dasselbe gilt für den Betrag mc des sog. Viererimpulses, der die Energie E = E₀ + Eₖ als "Impuls in Zeitrichtung" enthält:
(3.1) (E⁄c)² − p² = (m∙c)²
Abb. 1: Energie und Impuls bilden zusammen den Viererimpuls. Das, was unter der violetten Hyperbel liegt, ist Ruhe- das, was darüber hinaus ragt, kinetische Energie.
Das lässt sich zu
(3.2) (E⁄c)² − (m∙c)² = p²
umstellen, einsetzen:
(3.3) p = √{(eU⁄c + mₑc)² − (mₑc)²}
= √{2mₑeU + (eU⁄c)²},
wobei ich einige Zwischenschritte "geschlabbert" habe (1. Binomische Formel, kürzen durch c). Ist eU << mₑc², kann man (eU⁄c)² vernachlässigen. Ansonsten nicht, aber wir haben eine Formel, die immer gilt.
Rechnung mit eVWenn wir jetzt auswendig wissen, dass mₑc² ≈ 511keV ist, ist Einsetzen easy:
(4) p ≈ √{2,044×10⁶eV²/c²
≈ √{2,044}×10³eV⁄c
≈ 1,43×10³eV⁄c.
Weil wir gleich teilen müssen, drücke ich das (ungefähr) als Bruch aus: (1⁄7)×10⁴eV⁄c
Brauchen jetzt h in eVs:
6,6×10⁻³⁴Js∙6¼×10¹⁸eV/J ≈ 4⅛×10⁻¹⁵eVs
(5) λ = h⁄p = 4⅛×10⁻¹⁵eVs∙c∙7/10⁴eV
≈ 12⅜×10⁻⁷eVm∙7/10⁴eV
≈ 86⅝×10⁻¹¹m
≈ 8,66×10⁻¹⁰m
v ist die Geschwindigkeit, da kannst du nicht direkt die Spannung dafür einsetzen.