Hat folgendes Beispiel einen Untervektorraum: (x1, x2, x3) ∈ R3: x2 ≤ x1 + x3?
Hi, meine Frage bezieht sich Auf Untervektoren: Hat (x1, x2, x3) ∈ R3: x2 ≤ x1 + x3 einen Untervektorraum?
Die 3 Bedingungen habe ich nachgerechnet und es scheint so, als ob es einen Unterraumvektor hat. Jedoch kommt mir etwas Zweifel auf, da ich zu vermuten meine, dass man immer schreiben kann: x2+y2≤(x1+y1)+(x3+y3). Liege ich da falsch?
Also meine Vermutung bezieht sich darauf, dass wir immer die Form x+y = (x1+y1,x2+y2,...) bekommen können. Kann mich da jemand mit einem Gegenbeispiel korrigieren?
Danke
2 Antworten
Die Menge ist bezüglich der Addition Abgeschlossen, was aus den Eigenschaften von <= folgt.
Das macht die Menge aber nicht automatisch zum Untervektorraum, da eben auch noch die anderen Eigenschaften gelten müssen.
Und die Multiplikatives Abgeschlossenheit ist hier nicht erfüllt.
Tipp:
Wenn a<=b gilt, folgt dann automatisch auch c*a <= c*b für jedes reelle c?
sagen wir, dass a=5 ist und b= 5... wenn wir beide mit c=-2 multiplizieren, kommt -10 <= -10 raus. Das stimmt doch so, oder?
und da man bei einem negativen c das ungleichheitszeichen umdrehen muss, kommt eine wahre aussage raus
Nur weil du ein Beispiel findest wo es passt, folgt nicht daraus, dass es für alle passt. Was ist wenn a=1 und b=2 gilt?
Die Bedingung ist a<=b und bei a=1 und b=2 ist das nicht der Fall. Wenn die Bedingung a<=b jedoch gilt, dann ist es egal, welches c man nimmt
und mit einem negativen c = -2 käme -2 >= -4 raus. Also stimmt es
Nein, du machst keine Äquivalenzumformung, sondern du betrachtest ac <= bc
Und -2 <= -4 ist offensichtlich nicht wahr.
man muss aber eine Äquivalenzumformung machen, wenn das c negativ ist.
Nein. Du löst hier keine Gleichung, sondern du willst schauen, ob deine Menge ein Untervektorraum ist.
Wenn x_2 <= x_1 +x_3 gilt, folgt eben im allgemeinen NICHT c*x_2 <= c*(x_1+x_3)
Somit ist die Menge nicht bezüglich der Multiplikation abgeschlossen.
Willst du wissen, ob das ein Unterraum ist, oder ob es in der Menge einen (nichttrivialen) Unterraum gibt? Deine Frage impliziert zweiteres, aber deine Antwort ersteres.
Eine Ebene im R3, die den Nullvektor enthält, ist ein Unterraum.
hi, wieso sollte die Multiplikative Bedingung nicht abgeschlossen sein in diesem Beispiel? Und laut definition stimmt es eigentlich, dass c*a <= c*b für jedes reelle c folgt. Oder sehe ich da etwas falsch?