Halbwertszeit und Zerfallskonstante?
Von einer radioaktiven Substanz sind nach 5 Jahren noch 80% der ursprünglicher Menge vorhanden. Berechne die Zerfallskonstante "lambda" und die Halbwertszeit.
Ich verstehe nicht, wie die Zerfallskonstante und Halbertszeit berechnen kann :(
Kann jemand mir bitte helfen? Jemand der mir rettet und ich bin dieser Person mein Leben schuldig!!!
4 Antworten
Für einfachere Zeitrechnungen ziehe ich die gewöhnliche Wachstumsformel vor.
Ich mag e nicht sonderlich.
y = c * qⁿ y = Endwert c = Anfangswert q = Wachstumsfaktor n = Jahre
Zur Vereinfachung wähle ich 100 als Ausgangswert und 80 als Endwert (weil dies eine simple Darstellung für 80 % ist).
Dein Lambda ist mein q, vermute ich.
- Berechnung des Wachstumsfaktors
80 = 100 * q⁵ | /100 und Seiten vertauschen
q⁵ = 0,8 | ⁵√
q = 0,95635 Das ist kleiner als 1, also ein Zerfallsfaktor.
Es sind 4,36 %, die jährlich zerfallen. - Berechnung der Halbwertszeit wie oben mit Endwert = 50
50 = 100 * 0,95635ⁿ | /100 und Seiten vertauschen
0,95635ⁿ = 1/2 | logaritmieren, weil Exponent gesucht
ln 0,95635ⁿ = ln 0,5 | 3. Log-Gesetz
n * ln 0,95635 = ln 0,5 | /ln 0,95635
n = 15,53
Halbwertszeit daher etwa 15 1/2 Jahre.
Ist doch ziemlich einfach!
Dein Leben schuldest du mir aber nicht!
Du musst die Formel für die HWZ nach Lambda umstellen.
Die Formel für den radioaktiven Zerfall lautet
N(t) = N0 * e^(-λ * t )
N0 ist die Ausgangsmenge des Stoffes, z.B. in Prozent
λ ist die Zerfallskonstante
t ist die Zeit, z.B. in Jahren
N(t) ist die Restmenge nach der Zeit t
Nun ist gegeben
N(5) = 100 * e^(-λ * 5 ) = 80
Das muss nach λ aufgelöst werden
ln ( e^(-λ * 5 )) = ln ( 80 / 100 )
-λ * 5 = ln ( 80 / 100 )
λ = - ln ( 80 / 100 ) / 5 ~ 0,0446
Die Halbwertszeit ist die Zeit t, nach der noch 50% der radioaktiven Ausgangsmenge vorhanden ist, also
100 * e^(-λ * t ) = 50
Das muss nach t aufgelöst werden (wie oben)
-λ * t = ln ( 50 / 100 )
t = - ln ( 50 / 100 ) / λ ~ 15,53
Die Halbwertszeit beträgt also ca. 15,5 Jahre.
Du kannst N0 auch 1 setzen, aber dann muss die Gleichung
1 * e^(-λ * 5 ) = 0,8
lauten.
Hallo,
setze die ursprüngliche Menge auf 1 und die Menge nach fünf Jahren auf 0,8 (80 %).
Dann gilt:
e^(-k*5)=0,8
k soll hier für Lambda stehen.
Diese Gleichung löst Du mit Hilfe des natürlichen Logarithmus ln:
-k*5=ln (0,8)
k=(-ln (0,8))/5=0,04462871026
Nun kannst Du auf ähnliche Art die Halbwertzeit berechnen, indem Du auf die rechte Seite der Gleichung 0,5 schreibst und für k den ermittelten Wert einsetzt:
e^(-0,04462871026*t)=0,5
Auch wieder logarithmieren:
-0,04462871026*t=ln (0,5)
t=(ln (0,5))/-0,04462871026=15,5314
Der Stoff ist also nach etwas mehr als 15 1/2 Jahren zur Hälfte zerstrahlt (t=Zahl der Jahre).
Herzliche Grüße,
Willy
Aber warum soll man N0 mit 100 rechnen?