Exponentielles Wachstum/ Lambda/ Halbwertszeit - ist hier ein Mathe Genie?
Mit der formel y(x)= c*a^(=hoch)x, komm ich zurecht, aber ich versteh überhaupt nicht was man mit Lambda macht und wie das mit der Halbwertszeit funktioniert. Kann mir das vielleicht wer erklären?
Hier ein Bsp., das welches ich nicht verstehe: Das Isotop Berillium hat eine Halbwertszeit von 2*10^(-16)s 1) berechnen die Zerfallkonstante Lambda. 2) Berechne nach welcher zeit noch 30 % der ursprünglichen Kerne vorhanden sind.
Wäre echt super llieb wenn mir wer helfen kann :)
3 Antworten
Also deine Halbwertszeit ist die Zeit die du brauchst, damit du nur noch die HÄLFTE deines Stoffes hast! (Bis du nichts mehr übrig hast, dauert es bis in alle Ewigkeit.)
Dein c, normalerweise mit N_0 gekennzeichnet, ist dein Startwert. Dein Lambda (λ) gibt dir an, wie stark dein Menge pro Zeiteinheit, meistens pro Sekunde, abnimmt. Dieser Wert charakterisiert also den Abwachs.
Wenn du jetzt N_0 kennst, was ja meistens der Fall ist, und auch dein Lambda, kannst du wunderbar deine Halbwertszeit ausrechnen!
Also allgemein ist deine Abwachsfunktion ja N_0*e^(-λ*t) = N(t) (die Minus in de Potenz deswegen, weil es ja mit der Zeit immer weniger wird.)
N(t) ist bei der Halbwertszeit also die Hälfte von N_0.
Dein Lambda musst du nachschauen oder durch Experimente, was unter Umständen sehr lange dauern kann bis das Experiment erste verwertbare Ergebnisse liefert xD, ermitteln.
Jetzt beide Seiten durch N_0 teilen und du hast e^(-λ*t_h) = 0.5 (t_h ist jetzt hier die Halbwertszeit.)
Dann nur noch den natürlichen Logarithmus (ln) auf beiden Seiten ziehen, damit die Basis e verschwindet, und du hast -λ*t = ln(0,5)
Dann nur noch beide Seiten durch λ teilen und du hast dein t.
t_h = ln(0,5)/(-λ) (ln(0,5) = -0,69314...)
Somit ist t_h = -0,69314/(-λ) = 0,69314/λ (minus durch minus ist ja bekanntlich plus.)
Ich hoffe ich konnte dir helfen! :)
JTR
N(t) = N(0) * e ^ (-Lambda * t)
Lambda = ln(N(t) / N(0)) / (-t)
N(0) = Menge am Anfang zum Zeitpunkt t = 0
N(t) = Menge zum Zeitpunkt t
t = Zeit
Lambda = Zerfallskonstante
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1.)
Am Anfang denkst du dir eine Zahl aus, zum Beispiel denkst du dir aus, am Anfang gäbe es 100 Gramm Beryllium, also N(0) = 100
Dann gibt es nach 2*10^(-16) Sekunden nur noch die Hälfte davon, also
N(2 * 10 ^ (-16)) = 50
Nun lässt sich Lambda ausrechnen -->
Lambda = ln(50 / 100) / (-2 * 10 ^ (-16))
Lambda = 3.465735903 * 10 ^ 15
Aber eigentlich kann man sich die Mühe sparen, denn wenn die Halbwertszeit bekannt ist, dann ist Lambda immer Lambda = ln(1/2) / (- z) mit z = Halbwertszeit
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2.)
N(t) = N(0) * e ^ (-Lambda * t)
Lambda = 3.465735903 * 10 ^ 15
N(t) = (30 / 100) * N(0)
N(t) = 0.3 * N(0)
0.3 * N(0) = N(0) * e ^ (-Lambda * t) | : N(0)
0.3 = e ^ (-Lambda * t)
t = ln(0.3) / (-Lambda)
t = ln(0.3) / (-3.465735903 * 10 ^ 15)
t = 3.473931188 * 10 ^ (-16) Sekunden
Dafür muss man kein Mathe Genie sein, man muss nur 3 Minuten sich zeit nehmen um zu googlen was getan werden muss.
Du suchst y (oder Lambda oder was auch immer, von dieser Formel:
e^(-y*t)
wobei y die Zerfallskonstannte ist und t die Zeit in Sekunden
du weist das für t=2*10^(-16)
e^(-y*t)=1/2 ist
(weil in der aufgabe steht das nach so vielen sekunden halb so viel Berillium
noch da ist)
also
e^(-y*2*10^(-16))=1/2
-y*2*10^(-16)=ln(1/2) (ln=logarithmus zu e)
y=-ln(1/2)/(2*10^(-16))
und zu 2)
nun weißt du das
e^(ln(1/2)/(2*10^(-16))*t)=0.3
und berechnest t.