Radioaktivität - Zerfallene Kerne pro Sekunde?
Die Halbwertszeit von U-238 beträgt 4,5*109 Jahre. Wie viele Kerne zerfallen pro Sekunde in einem Kilogramm? Atommasse U-238: 238,0508 u
Anfangsmenge berechnen
N_0 = n*N_A
= m/M *N_A
= 1000/238,1 * 6,022*10^23
= 2,53 * 10^24
N(t) = N_0 * e^-lambda*t
N(t) = N_0 - delta N
delta N ist gesucht
N_0 - delta N = N_0 * e^-lambda*t
N_0 - (N_0 * e^-lambda*t) = delta N
lambda = ln(2)/t_1/2
lambda = ln(2) / (4,5*10^9 * 365 *24 * 60 *60)
delta N = 2,53 * 10^24 - ( 2,53* 10^24 * e^ - (lambda) * 1s)
= 1,23 *10^14 Teilchen
Ich habe irgendwo ein Fehler mit den Zahlenordnungen... Ich finde den leider nicht, kann mir jemand helfen?
3 Antworten
Aktion Emil; das intressiert mich persönlich. Du hast ja schon N0 . Der Exponent lautet
ln ( 2 )
----------------------- ( 1 )
Halbwertszeit
Mach dir den Zusammenhang ( 1 ) bitte klar.
4.5 (E9 ) a = 4.5 (E9 ) * 365 * 24 * 3.6 (E3) sec = ( 2a )
= 1.419 (E17) sec ( 2b )
Dann findest du für ( 1 )
Exponent = 4.884 (E-18) s ^ -1 ( 3 )
N ( t ) = 2.53 (E24 ) exp - 4.884 (E-18) t / sec ( 4 )
Was du konzeptionell machst, ist hochgradig verboten; ===> Differenzen aus großen Zahlen. Genau dafür haben wir nämlich die Differenzialrechnung erfunden; wenn ich frage, wie viel Kerne pro Sekunde, dann will ich nicht das Integral über eine Sekunde. Sondern es heißt klipp und klar " in einem kg " ; also in statu nascendi, wenn noch nix zerfallen ist. Die Ableitung beträgt
N ' ( t ) = - 2.53 (E24 ) * 4.884 (E-18) / sec exp - 4.884 (E-18) t / sec = ( 5a )
= - 1.236 (E7) / sec exp - 4.884 (E-18) t / sec = ( 5b )
N ' ( 0 ) = 12.36 Mio / sec ( 5c )
4.5 (E9 ) a = 4.5 (E9 ) * 365 * 24 * 3.6 (E3) sec = ( 2a
Was soll das alles heißen!? O.O
Bin noch schüler
Ich habe nichts anderes gerechnet als du auch, würd ich mal behaupten. Der einzige Unterschied: Ich erlaube es mir, darauf hinzuweisen, es könnte Wahnsinn sein, in die e-Formel einzusetzen t = 1 sec . Weiß´t du was du dann nämlich praktisch kriegst? Und genau deshalb fragst du nämlich an.
Du hast ( übrigens richtig; " Rumar " ; Ruhe auf den billigen Plätzen; wer hat Kuchen verlangt, dass du Krümel dich meldest? ) also du hast Richtig Anfangsmenge (E26) Nach einer Sekunde hast du natürlich immer noch genau so viel; glaub mir. Nach meiner Rechnung sind 12 Mio Teilchen zerfallen; in den ersten drei Stellen hart sich die Mantisse gar nicht geändert. Von 3-stelliger Genauigkeit erwartest du, dass du die 19. Stelle der Mantisse VERLÄSSLICH reproduzieren kannst; genau dieses nummerische Problem nennt man " Differenzen aus großen Zahlen "
Siehs doch so. Das führende Glied der Taylorentwicklung ist eine Eins ( gewichtet immer mit der Teilchenzahl ) Es folgt die erste Ableitung ( bei t = 0 )
Und jetzt bildest du Differenzen mit Köpfchen;
zur Zeit t = 0 hast du : 1 ( Einheit ) Teilchen ( 2.1a )
zur Zeit 1 sec hast du: ( 1 - Ableitung * 1 sec ) Teilchen ( 2.1b )
Mein Angebot ist das EINZIG REALISTISCHE ; die Eins fliegt raus bei der Differenzbildung; und die Ableitung gibt dir die Antwort. Haben wir das jetzt so verstanden?
Also ich hab jetzt einfach verstanden, dass ich nicht solch große Zahlen voneinander subtrahieren soll
Ja. Das Problem der "Auslöschung" bei der Berechnung von Differenzen sehr großer Zahlen mittels Computer ist etwas, das man gegebenenfalls im Auge behalten muss.
Genau um auf dieses mögliche Problem hinzuweisen, finde ich die vorliegende Aufgabe sogar sehr geeignet !
Deine Anfangs-Anzahl der Atomkerne No stimmt nicht. Ich erhalte dafür etwa 6.022 * 10^26 (1 kg dividiert durch Protonmasse)
Als Formel würde ich lieber diese nehmen :
N(t) = No * 2 ^ (- t / Th) (Th = Halbwertszeit)
Berechne dann N1 := N(1 Sekunde)
Gesucht ist die Anzahl No - N1 der in der ersten Sekunde zerfallenden Atome.
Bezieht sich die Rechnung wirklich nur auf das (praktisch fast stabile) Isotop U238 ? In dem "natürlichen" Uran, das man in Uranminen findet, steckt beispielsweise auch U235 mit einer deutlich kleineren Halbwertszeit !
Da ihr euch alle aufführt, als sei die Differezialrechnung noch nicht erfunden. Basis 2 empfiehlt sich eher nicht; gerade beim Ableiten wäre e vorzuziehen. Letzten Endes bleibt es aber BH wie Schlüpfer, da alle Logaritmensysteme bzw. alle e-Funktionen einander popotional sind.
Ich komme auf etwa 2.9 Milliarden zerfallende Kerne in der ersten Sekunde. Bei der Berechnung mit dem TR musste ich allerdings, um Auslöschungsfehler zu umgehen, zuerstmal die zerfallenden Atome im ersten Jahr berechnen und dann (linear) auf die erste Sekunde schließen ...
Versuch's mal über die Aktivität:
A(t) = -N(t)' = lambda Noe^-lambda t
A(0) = lamda No mit lamda = ln2/t1/2
Hab den Weg auch schon durchgerechnet, komme auch auf das richtige Ergebnis. Aber ich sehe hier nicht meinen Fehler :/
Siwhe meine Antwort so wie die angefügten Kommentare; im Übrigen ist deine Rechnung richtig. Nur. Was du als " Aktivität " bezeichnest, dürfte nix weiter sein als die Ableitung dieser e-Funktion; denk mal über die Kettenregel nach. Die Anfangsmenge ist nämlich zu teilen durch die Halbwertszeit; " Menge pro sec "
Was du als " Aktivität " bezeichnest, dürfte nix weiter sein als die Ableitung dieser e-Funktion;
So ist Aktivität definiert...
Ja aber ich rechne doch gerade aus wie viel Teilchen nach einer Sekunde übrig bleiben und das ist ja die Anzahl an Teilchen die pro Sekunde dann zerfallen?
Heißt der Strich, du bildest die Ableitung? Könnte es sein, dass du die falsch hast? Vgl. mit meiner Antwort.
ne hab nichts abgeleitet, aber dachte halt:
N(t) = N_0 * e^-lambda*t
Dass ich mit dieser Gleichung die Anzahl an Teilchen berechne die nach t=1s noch übrig bleiben. Und das muss ich ja nur noch von der Anfangsmenge abziehen
N(t) = No e^(-lambda t) ist die Zerfallsfunktion.
' soll hier Ableitung zur Zeit sein (in Physik eigentlich Punkt obendrüber, krieg ich mit dem Editor nicht hin)
Beim Ableiten taucht - lamda als innere Ableitung auf, Aktivität ist die negative Ableitung, damit's insgesamt wieder positiv wird.
Das entspricht praktisch der Ableitung: Steigungsdreieeck deta y durch delta t. Der Graph ist dort fast linear.
Was du konzeptionell machst, ist hochgradig verboten; ===>
Differenzen aus großen Zahlen. Genau dafür haben wir nämlich die
Differenzialrechnung erfunden;
Bei kurzen Zeitdifferenzen entspricht die Sekantensteigung praktisch der Tangentensteigung...